Exercícios Resolvidos de Conjugado

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Enunciado

Calcule o limite abaixo:

lim x → 1 ⁡ x - 1 x 3 + 8 - 3

Passo 1

Se tentarmos substituir o valor para o qual x tende, veremos que chegamos a uma indeterminação:

lim x → 1 ⁡ x - 1 x 3 + 8 - 3 ⟹ 0 0

Puts, então vamos precisar manipular essa função ai pra podermos sair com a indeterminação.

Passo 2

Uma primeira coisa que a gente pode tentar fazer é multiplicar pelo conjugado, beleza? Dessa forma a gente some com aquela raíz e o resultado pode acabar nos ajudando. Então partiu ver no que que dá:

x - 1 x 3 + 8 - 3 x 3 + 8 + 3 x 3 + 8 + 3 = x - 1 x 3 + 8 + 3 x 3 + 8 - 9 = x - 1 x 3 + 8 + 3 x 3 - 1

Se substituirmos, ainda temos indeterminação:

lim x → 1 ⁡ x - 1 x 3 + 8 + 3 x 3 - 1 ⟹ 0 0

Ou seja, não paramos por aqui ainda, ainda vamos ter que manipular um pouquinho

Passo 3

Toda vez que virmos uma diferença com um x 3 a gente se pergunta: será que algum produto notável me ajuda? Nesse caso, a resposta é sim! Saca só o seguinte produto notável

a - b a 2 + a b + b 2 = a 3 - b 3

Faremos a = x e b = 1 :

x - 1 x 2 + x + 1 = x 3 - 1

Aí substituímos:

x - 1 x 3 + 8 + 3 x 3 - 1 = x - 1 x 3 + 8 + 3 x - 1 x 2 + x + 1  

E cortamos:

x 3 + 8 + 3 x 2 + x + 1

Se fizermos o limite agora, não vamos ter mais indeterminações! Dá uma olhada:

lim x → 1 ⁡ x 3 + 8 + 3 x 2 + x + 1 = 1 3 + 8 + 3 1 2 + 1 + 1 = 9 + 3 3 = 3 + 3 3 = 2

Resposta

lim x → 1 ⁡ x - 1 x 3 + 8 - 3 = 2

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