1. Determine, sem usar qualquer artifício que envolva derivação, o valor da constante real p para que o limite abaixo exista e seja finito. Calcule o valor do limite também.
  2. lim x → 0 ⁡ 1 + x - ( 1 + p x ) x 2

  3. Prove ou dê um contraexemplo:

“Se lim x → 0 ⁡ f x 2   existe e é finito, então lim x → 0 ⁡ f ( x )   também existe e é finito

Passo 1

Faaala, pessoal! Criar contraexemplo é trabalhar com o simples. O que difere principalmente o x de seu quadrado é o sinal que assume, a fim de explorar isto me vem a mente f x = 1 / x que explicitará a mudança de sinal. Contudo, os limites não seriam finitos.

Para aproveitar isso, fazemos f x = 2 - 1 x , pois:

lim x → 0   ⁡ f x 2 = lim x → 0   ⁡ 2 - 1 x 2 = 0

E, contudo:

lim x → 0 +   ⁡ f x = lim x → 0 +   ⁡ 2 - 1 x = 0

Enquanto:

lim x → 0 -   ⁡ f x = lim x → 0 -   ⁡ 2 - 1 x = ∞

De forma que não existe lim x → 0 ⁡ f ( x ) .

Resposta

CONTRAEXEMPLO: f x = 2 - 1 x

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