1. Calcule o limite, se existir

j. lim x → 1 ⁡ x 3 - 1 x - 1

Passo 1

Oi, galerinha! Tudo bom? Aqui nós temos um limite para resolver,

lim x → 1 ⁡ x 3 - 1 x - 1

A gente sempre começa substituindo o valor na função, fica assim:

lim x → 1 ⁡ x 3 - 1 x - 1 = 1 3 - 1 1 - 1 = 0 0

Eitaaa, caímos numa indeterminação do tipo 0 0 .

A dica para sair dessa indeterminação é lembrar desses produtos notáveis:

a 3 - b 3 = ( a - b ) ( a 2 + a b + b 2 )

c 2 - d 2 = ( c + d ) ( c - d )

Bora sair dessa!

Passo 2

Vamos começar pelo numerado e a raíz de terceiro grau.

Vamos aplicar o primeiro produto notável sugerido no numerador, que tem raízes cúbicas. Faremos a = x 3 e b = 1 :

a - b a 2 + a b + b 2 = a 3 - b 3

x 3 - 1 x 3 2 + x 3 + 1 2 = x 3 3 - 1 3 = x - 1

Ou seja, devemos multiplicar em cima e embaixo o conjugado x 3 2 + x 3 + 1 2 para gerar x - 1 em cima.

Passo 3

Agora, para o segundo produto notável, trabalhando quadrados, aplicamos no caso do denominador do limite, que tem raiz quadrada:

c + d c - d = c 2 - d 2

Para o denominador, fazemos c = x e d = 1 :

x + 1 x - 1 = x 2 - 1 2 = x - 1

Devemos, portanto, multiplicar em cima e embaixo por x + 1 , visando obter x - 1 no denominador.

Passo 4

Substituindo na expressão:

lim x → 1 ⁡ x 3 - 1 x - 1 = lim x → 1 ⁡ x 3 - 1 x - 1 x 3 2 + x 3 + 1 2 x 3 2 + x 3 + 1 2 x + 1 x + 1

Fazendo a distribuitiva,

= lim x → 1 ⁡ x - 1 x - 1 x + 1 x 3 2 + x 3 + 1 2

Simplificando x - 1 e calculando

= lim x → 1 ⁡ x + 1 x 3 2 + x 3 + 1 2 = 1 + 1 1 3 2 + 1 3 + 1 2 = 2 3

Prontinho!

Resposta

2 3

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