Determine se existem ou não os seguintes limites. Em caso afirmativo, calcule o seu valor. (Justifique)! (NÃO é permitido o uso da regra de L’Hospital).

b) lim x → 1 ⁡ x 3 - 1 x 2 - x

Passo 1

Sempre vamos começar uma questão de limites substituindo o valor que x tende, para verificarmos se há uma indeterminação ou não. Somente depois de verificado é que podemos discutir o que fazer. Portanto,

lim x → 1 ⁡ x 3 - 1 x 2 - x = 1 3 - 1 1 2 - 1 = 1 - 1 1 - 1 = 0 0

Agora sim. Temos uma indeterminação. Isto significa que o ponto x = 1 é uma raiz tanto do numerador quanto do denominador! Cabe a nós arrumarmos alguma forma de eliminarmos estas raízes.

PS: Imagina agora que não deu uma indeterminação. Algo tipo 0 / 2 . Vocês já comemorariam pois finalizariam a questão neste ponto, nada mais seria feito. Mas como isso não aconteceu... segue o jogo!

Vamos começar colocando o x em evidência no denominador. Sempre que puderem fazer isto, façam! É muito provável que isto possibilite que você veja o termo que esta zerando o seu numerador ou denominador. Portanto, temos:

lim x → 1 ⁡ x 3 - 1 x 2 - x = lim x → 1 ⁡ x 3 - 1 x ⋅ x - 1

Conseguem ver agora, se substituirmos x = 1 no denominador iremos obter 1 ⋅ 1 - 1 = 1 ⋅ 0 . É exatamente este termo x - 1 que vai zerar e vai causar a indeterminação.

Agora, temos que fazer o mesmo para o numerador. Temos que fazer aparecer o termo x - 1 . Somente ao fazermos isto, vamos conseguir cortar com o termo do denominador e eliminar a indeterminação.

Sendo assim, temos que encontrar alguma forma de multiplicar essa raiz cúbica e transformar em x .

Passo 2

A ideia por trás de quem devemos multiplicar no numerador e denominador é a mesma para caso quiséssemos transforma x - 1 em x 3 - 1 (percebam que continuamos elevando a 3 o termo x ).

Precisamos multiplicar o nosso limite (no numerador e denominador) pela seguinte função x 2 3 + x 3 + 1 . A dica para saber quem é que devemos multiplicar é a seguinte.

Queremos eliminar um termo de raiz cúbica. Então, vamos multiplicar pelo quadrado do primeiro x 2 3 mais o primeiro pelo segundo x 3 ⋅ 1 mais o quadrado do segundo 1 2 . Portanto, teremos o seguinte limite:

lim x → 1 ⁡ x 3 - 1 x ⋅ x - 1 ⋅ x 2 3 + x 3 + 1 x 2 3 + x 3 + 1 = lim x → 1 ⁡ x - 1 x ⋅ x - 1 ⋅ x 2 3 + x 3 + 1

Eliminando os termos x - 1 , temos:

lim x → 1 ⁡ 1 x ⋅ x 2 3 + x 3 + 1

Agora, basta substituir o valor x = 1 e verificar que não há mais indeterminação.

lim x → 1 ⁡ 1 x ⋅ x 2 3 + x 3 + 1 = 1 1 ⋅ 1 + 1 + 1 = 1 3

E assim resolvemos a nossa questão!

Resposta

lim x → 1 ⁡ x 3 - 1 x 2 - x = 1 3

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Calcule o limite, se existir.underset(h - 0)(lim) ((1)/((x + h)^2) - (1)/(x^2))/(h)