Calcule:

lim x → 3 ⁡ 4 - x - 1 12 - x - 3

Passo 1

Primeiramente, substituímos o valor de x para sabermos com qual indeterminação estamos lidando:

lim x → 3 ⁡ 4 - x - 1 12 - x - 3 ⟹ 4 - 3 - 1 12 - 3 - 3

lim x → 3 ⁡ 4 - x - 1 12 - x - 3 ⟹ 1 - 1 9 - 3 = 0 0

Portanto, temos uma indeterminação do tipo 0 0 . Porém, podemos nos livrar dessa indeterminação utilizando a álgebra.

Passo 2

Lembra do seguinte produto notável:

a - b a + b = a 2 - b 2

Repare que ele permite pegar uma diferença ou uma soma e, multiplicando pela soma ou subtração, o resultado são os termos elevados ao quadrado.

Ao trabalhar com raízes quadradas, esse produto notável é muito útil.

Como no nosso limite estamos trabalhando com uma diferença de termos, isolamos ela na fórmula:

a - b = a 2 - b 2 a + b

Portanto podemos aplicá-la no nosso problema para nos livrar da diferença das raízes. Repare que não são as raízes em si que são o problema, são as diferenças, pois elas que resultam num zero no denominador e no numerador. Segue que:

Na primeira parte temos 4 - x - 1 , aqui vamos ter

a = 4 - x

b = 1

Então, substituindo na nossa fórmula

4 - x - 1 = 4 - x - 1 2 4 - x + 1

4 - x - 1 = 3 - x 4 - x + 1

Aplicando na outra temos 12 - x - 3 , aqui vamos ter

a = 12 - x

b = 3

Então, substituindo na nossa fórmula

12 - x - 3 = 12 - x - 3 2 12 - x + 3

12 - x - 3 = 3 - x 12 - x + 3

Agora, substituindo isso no nosso limite vai dar:

lim x → 3 ⁡ 4 - x - 1 12 - x - 3 = lim x → 3 ⁡ 3 - x 4 - x + 1 3 - x 12 - x + 3 = lim x → 3 ⁡ 3 - x 4 - x + 1 × 12 - x + 3 3 - x

Corta-corta, e nosso limite vai ficar:

lim x → 3 ⁡ 4 - x - 1 12 - x - 3 = lim x → 3 ⁡ 12 - x + 3 4 - x + 1

Passo 3

Substituindo o valor de x na nova expressão, podemos avaliar o limite:

lim x → 3 ⁡ 12 - x + 3 4 - x + 1 ⟹ 12 - 3 + 3 4 - 3 + 1

lim x → 3 ⁡ 12 - x + 3 4 - x + 1 ⟹ 9 + 3 1 + 1 = 3 + 3 2

Como o resultado deu um número, achamos nosso limite:

3 + 3 2 = 3

Resposta

lim x → 3 ⁡ 4 - x - 1 12 - x - 3 = 3

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