Calcule, se existirem, os limites abaixo

lim x → ∞ ⁡ x x 2 - 1   - x

Passo 1

Um primeiro passo antes de tentarmos fazer qualquer rearranjo, é aplicar direto o limite que é dado na questão.

lim x → ∞ ⁡ x x 2 - 1   - x = ∞ - ∞

Opa, deu indeterminação!! Porque a gente não sabe qual infinito crescerá mais rápido que o outro, então vamos ter que fazer umas mágicas aí! Haha

Uma dica muito boa é a seguinte: toda vez que você enxergar uma raiz de alguma coisa MENOS OU MAIS alguma coisa, você pode tentar a estratégia de multiplicar pelo conjugado. A gente vai seguir por essa estratégia, beleza?

Vamos multiplicar esse limite (em cima e em baixo) pelo conjugado de x 2 - 1   - x que é x 2 - 1   + x

Passo 2

Bora então fazer esse paranauê!

x x 2 - 1   - x × x 2 - 1   + x x 2 - 1   + x = x x 2 - 1 - x x 2 - 1   + x x 2 - 1   - x 2 x 2 - 1   + x

- x x 2 - 1   + x  

Aplicando o limite nisso aí, permanecemos com indeterminação!

lim x → ∞ ⁡ = - x x 2 - 1   + x   = ∞ ∞

Mas calma, perceba que temos um polinômio no numerador e denominador, e quando isso acontece, isso pode ser um bom sinal de que um caminho legal de seguir é colocar a maior potência em evidência pra ver o que acontece.

Passo 3

Então vamos fazer exatamente isso, vamos colocar o x 2 em evidência no denominador e depois aplicar o limite.

- x x 1 - 1 x 2   + x = - x x 1 - 1 x 2   + 1 = - 1 1 - 1 x 2   + 1

Agora vamos tentar aplicar nosso limite pra ver se deu tudo certo!!

lim x → ∞ ⁡ = - 1 1 - 1 x 2   + 1 = - 1 1 - 0 + 1 = - 1 2

THE END! :D

Resposta

lim x → ∞ ⁡ x x 2 - 1   - x = - 1 2

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