Exercícios Resolvidos de Conjugado

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Enunciado

( a ) Calcule, caso existam, os seguintes limites:

i )   lim x → 2 + ⁡ x - 2 x 2 + 1 3 - 5 3

Passo 1

Começamos, como sempre, substituindo o valor:

lim x → 2 + ⁡ x + 2 x 2 + 1 3 - 5 3

= 2 - 2 2 2 + 1 3 - 5 3

= 0 5 3 - 5 3

= 0 0

Notamos que rola uma indeterminação nesse limite. Para fugir dela precisamos de algumas soluções algébricas para eliminar os termos que geram a indeterminação

Passo 2

Para tirar o 0 desse denominador vou usar o seguinte produto notável.

a - b a 2 + a b + b 2 = a 3 - b 3

Onde o que temos ali no termo é um a = x 2 + 1 3 e um b = 5 3 , ou seja, precisamos multiplicar em cima e embaixo um termo

a 2 + a b + b 2 = x 2 + 1 3 2 + 5 x 2 + 1 3 + 5 3 2

Para forçar aparecer embaixo o

a 3 - b 3 = x 2 + 1 - 5

= x 2 - 4

= ( x + 2 ) ( x - 2 )

Vamos lá então:

lim x → 2 + ⁡ x - 2 x 2 + 1 3 - 5 3 x 2 + 1 3 2 + 5 x 2 + 1 3 + 5 3 2 x 2 + 1 3 2 + 5 x 2 + 1 3 + 5 3 2

= lim x → 2 + ⁡ x - 2 x 2 + 1 3 2 + 5 x 2 + 1 3 + 5 3 2 ( x 2 - 4 )

Passo 3

Agora basta resolver, levando em conta que no denominador temos

x 2 - 4 = x + 2 x - 2

= x + 2 x - 2 2

= lim x → 2 + ⁡ x - 2 x 2 + 1 3 2 + 5 x 2 + 1 3 + 5 3 2 ( x 2 - 4 )

= lim x → 2 + ⁡ x - 2 x 2 + 1 3 2 + 5 x 2 + 1 3 + 5 3 2 x + 2 x - 2 2

lim x → 2 + ⁡ x 2 + 1 3 2 + 5 x 2 + 1 3 + 5 3 2 x + 2 x - 2

Agora repara numa coisa, o termo x 2 + 1 3 2 + 5 x 2 + 1 3 + 5 3 2 x + 2 , ou seja, tudo menos o x - 2 vai gerar uma constante, repara:

lim x → 2 + ⁡ x 2 + 1 3 2 + 5 x 2 + 1 3 + 5 3 2 x + 2

= 4 + 1 3 2 + 5 4 + 1 3 + 5 3 2 2 + 2

= 5 3 2 + 25 3 + 5 3 2 4

= 3 25 3 4

Ou seja, temos que

lim x → 2 + ⁡ x 2 + 1 3 2 + 5 x 2 + 1 3 + 5 3 2 x + 2 x - 2

= 3 25 3 4 lim x → 2 + ⁡ 1 x - 2

O lim x → 2 + ⁡ 1 x - 2 vai gerar um valor explodindo para mais infinito, uma vez que x - 2 se aproxima de 0 por valores positivos quando x → 2 + . Assim,

3 25 3 4 lim x → 2 + ⁡ 1 x - 2

= + ∞

Resposta

lim x → 2 + ⁡ x - 2 x 2 + 1 3 - 5 3 = + ∞

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