Calcule os seguintes limites, caso existam. Justifique!

c ) lim x → - ∞ ⁡ ( x 3 + x 2 3 - x )

Passo 1

Inicialmente, substituo o limite:

lim x → - ∞ ⁡ ( x 3 + x 2 3 - x ) = - ∞ + ∞ 3 + ∞

Indeterminação, né? (novidade...)

Como eu tenho uma subtração de termos, sendo um composto de raiz cúbica, vou tentar retirar a indeterminação com o produto notável que me faz elevar os termos ao cubo, ou seja:

a - b a 2 + a b + b 2 = a 3 - b 3

Sendo nesse caso a = x 3 + x 2 3 e b = x :

lim x → - ∞ ⁡ x 3 + x 2 3 - x = lim x → - ∞ ⁡ x 3 + x 2 3 - x . x 3 + x 2 3 2 + x 3 + x 2 3 x + x 2 x 3 + x 2 3 2 + x 3 + x 2 3 x + x 2  

lim x → - ∞ ⁡ x 3 + x 2 - x 3 x 3 + x 2 3 2 + x 3 + x 2 3 x + x 2 = lim x → - ∞ ⁡ x 2 x 3 + x 2 3 2 + x 3 + x 2 3 x + x 2

Ok, já melhorou.

Passo 2

Agora, repara o seguinte, embaixo eu tenho o meu maior grau de polinômio é 2 (por sinal, os três termos debaixo tem grau 2 ). Como eu tenho um limite indo para - ∞ , posso dividir pelo maior grau em cima e embaixo para descobrir para onde minha função vai:

lim x → - ∞ ⁡ x 2 x 2 x 3 + x 2 3 2 x 2 + x 3 + x 2 3 x x 2 + x 2 x 2

lim x → - ∞ ⁡ x 2 x 2 x 3 x 3 + x 2 x 3 3 2 + x 3 x 3 + x 2 x 3 3 + x 2 x 2 = lim x → - ∞ ⁡ 1 1 + x 2 x 3 3 2 + 1 + x 2 x 3 3 + 1

Se sabemos considerarmos esse limite aqui:

lim x → - ∞ ⁡ x 2 x 3 = lim x → - ∞ ⁡ x - 1 = 0

Podemos matar o resto da questão:

lim x → - ∞ ⁡ 1 1 + x 2 x 3 3 2 + 1 + x 2 x 3 3 + 1 = 1 1 3 2 + 1 3 + 1 = 1 3

Resposta

lim x → - ∞ ⁡ ( x 3 + x 2 3 - x ) = 1 3

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