Calcule os limites:

c) lim x → 1 ⁡ x 2 - x x - 1

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão.

O enunciado nos deu um limite e pediu pra gente calcular ele. Em outras palavras, ele quer saber o que acontece com a função x 2 - x x - 1 quando x tende a 1 . Mas o quê que isso quer dizer?

Quer dizer que quanto mais x vai se aproximando de 1 , se esse limite existir, então a função vai se aproximando de um valor. E qual valor é esse?

É isso que nós vamos descobrir!

Passo 2

Vamos dar uma olhadinha no nosso limite:

lim x → 1 ⁡ x 2 - x x - 1

Como é que a gente pode calcular o limite dessa função? Bom, se eu substituir o 1 no lugar do x , vai ficar assim:

1 2 - 1 1 - 1 = 0 0

Ou seja, temos uma indeterminação, que é uma expressão não sabemos exatamente como calcular. Beleza, então o que eu faço? Nós precisamos encontrar estratégias para fugir dessas indeterminações e transformar o nosso limite em algo simples de resolver.

Uma forma de fazer isso é multiplicando a nossa função pelo conjugado do denominador, que, nesse caso, é isso aqui:

x + 1 x + 1

Que é como se eu tivesse multiplicando por 1 , concorda? Então não altera a função, a gente só vai obter uma fração equivalente para calcular o limite. Vamos ver!

Passo 3

Multiplicando o conjugado pelo limite, nós temos:

lim x → 1 ⁡ x 2 - x x - 1 ∙ x + 1 x + 1

Multiplicando termo a termo:

lim x → 1 ⁡ ( x 2 - x ) ( x + 1 ) ( x - 1 ) ( x + 1 ) = lim x → 1 ⁡ x 2 x + x 2 - x x - x x + x - x - 1

Simplificando e agrupando os termos:

lim x → 1 ⁡ x 2 x + 1 - x ( x + 1 ) x - 1 = l i m x → 1 ( x 2 - x ) ( x + 1 ) x - 1

Nós podemos fatorar x 2 - x colocando x em evidência:

l i m x → 1 x ( x - 1 ) ( x + 1 ) x - 1

Então podemos cortar o ( x - 1 ) em cima e embaixo:

l i m x → 1   x ( x + 1 )

Pronto, agora ficou bem mais simples de resolver, né? Vamos substituir o 1 do limite pra ver:

1 1 + 1 = 1 2 = 2

Então,

lim x → 1 ⁡ x 2 - x x - 1 = 2

Encontramos nosso resultado. Valeu, galera! 😉

Resposta

2

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