Calcule, justificando bem cada passagem, lim x → - ∞ ⁡ x 4 - x 3 4 + x

Passo 1

A primeira coisa que a gente faz sempre quando vê um limite é substituir. Se já de cara acharmos um número, show, respondido! Nesse caso, vamos ter:

lim x → - ∞ ⁡ x 4 - x 3 4 + x = ∞ - ∞

E olha só! Indeterminação! A gente vai ter que arranjar um jeito de sumir com ela primeiro. Uma boa estratégia é a gente tentar cortar o mal pela raiz. Literalmente raiz porque se multiplicarmos pelo conjugado, olha como fica:

lim x → - ∞ ⁡ x 4 - x 3 4 + x = lim x → - ∞ ⁡ x 4 - x 3 4 + x x 4 - x 3 4 - x x 4 - x 3 4 - x

lim x → - ∞ ⁡ x 4 - x 3 4 + x = lim x → - ∞ ⁡ x 4 - x 3 2 - x 2 x 4 - x 3 4 - x

Substituindo agora, infelizmente ainda dá indeterminação:

lim x → - ∞ ⁡ x 4 - x 3 2 - x 2 x 4 - x 3 4 - x = ∞ - ∞ + ∞

Passo 2

Bem, a gente ainda não se livrou de todas as raízes. Pelo menos não no numerador. Então talvez seja uma boa ideia multiplicar pelo conjugado mais uma vez. Vamos ficar com:

lim x → - ∞ ⁡ x 4 - x 3 2 - x 2 x 4 - x 3 4 - x = lim x → - ∞ ⁡ x 4 - x 3 2 - x 2 x 4 - x 3 4 - x ∙ x 4 - x 3 2 + x 2 x 4 - x 3 2 + x 2

lim x → - ∞ ⁡ x 4 - x 3 2 - x 2 x 4 - x 3 4 - x = lim x → - ∞ ⁡ x 4 - x 3 - x 4 x 4 - x 3 4 - x x 4 - x 3 2 + x 2

lim x → - ∞ ⁡ x 4 - x 3 2 - x 2 x 4 - x 3 4 - x = lim x → - ∞ ⁡ - x 3 x 4 - x 3 4 - x x 4 - x 3 2 + x 2

Pô, olhando assim até parece que complicou ainda mais. Mas relaxa que eu te garanto que ajudou! Mesmo a indeterminação não tendo indo embora ainda...

lim x → - ∞ ⁡ - x 3 x 4 - x 3 4 - x x 4 - x 3 2 + x 2 = + ∞ + ∞

...podemos tentar uma outra estratégia: por as maiores potências de x em cima e em baixo em evidência. Vamos ter:

lim x → - ∞ ⁡ - x 3 x 4 - x 3 4 - x x 4 - x 3 2 + x 2 = lim x → - ∞ ⁡ x 3 - 1 x 4 1 - 1 x 4 - x x 4 1 - 1 x 2 + x 2

= lim x → - ∞ ⁡ x 3 - 1 x ∙ 1 - 1 x 4 - x x 2 ∙ 1 - 1 x 2 + x 2

A gente pode ainda se livrar desse módulo chato se lembrarmos que pela definição:

x = x ,     s e   x ≥ 0 - x ,     s e   x < 0

Como o limite é pra x → - ∞ , vale a forma de baixo. Logo:

= lim x → - ∞ ⁡ x 3 - 1 - x ∙ 1 - 1 x 4 - x x 2 ∙ 1 - 1 x 2 + x 2

= lim x → - ∞ ⁡ x 3 - 1 x ∙ - 1 - 1 x 4 - 1 ∙ x 2 ∙ 1 - 1 x 2 + 1

= lim x → - ∞ ⁡ x 3 - 1 x 3 ∙ - 1 - 1 x 4 - 1 1 - 1 x 2 + 1

= lim x → - ∞ ⁡ - 1 - 1 - 1 x 4 - 1 1 - 1 x 2 + 1

Cara depois dessa doidera toda aí sim a indeterminação sumiu! Quer ver? Substitui ai o limite! Vamos ter:

lim x → - ∞ ⁡ - 1 - 1 - 1 x 4 - 1 1 - 1 x 2 + 1 = - 1 - 1 - 0 4 - 1 1 - 0 2 + 1

= - 1 - 1 4 - 1 1 2 + 1 = - 1 - 2 2 = 1 4

Resposta

lim x → - ∞ ⁡ x 4 - x 3 4 + x = 1 4

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