Calcule, justificando bem cada passagem, lim x → - ∞ ⁡ x 4 + x 3 4 + x

Passo 1

A primeira coisa que a gente faz quando vê um limite é tentar substituir. Pra esse limite, olha o que acontece se fizermos isso:

lim x → - ∞ ⁡ x 4 + x 3 4 + x = ∞ - ∞ 4 - ∞

Eita! Indeterminação! A gente vai ter que arranjar um jeito de sumir com ela se não não vamos conseguir responder. Como temos um polinômio dentro de uma raiz, uma boa primeira tentativa é multiplicar pelo conjugado:

lim x → - ∞ ⁡ x 4 + x 3 4 + x = lim x → - ∞ ⁡ x 4 + x 3 4 + x x 4 + x 3 4 - x x 4 + x 3 4 - x

lim x → - ∞ ⁡ x 4 + x 3 4 + x = lim x → - ∞ ⁡ x 4 + x 3 2 - x 2 x 4 + x 3 4 - x

Bem, se a gente substituir, ainda não dá pra resolver. Vamos precisar mexer mais um pouco no limite:

lim x → - ∞ ⁡ x 4 + x 3 2 - x 2 x 4 + x 3 4 - x = ∞ - ∞ 2 - ∞ ∞ - ∞ 4 + ∞

Passo 2

Podemos continuar com essa ideia de nos livrarmos de raízes. Pega o numerador por exemplo e multiplica pelo conjugado mais uma vez. Vamos ficar com:

lim x → - ∞ ⁡ x 4 + x 3 2 - x 2 x 4 + x 3 4 - x = lim x → - ∞ ⁡ x 4 + x 3 2 - x 2 x 4 + x 3 4 - x ∙ x 4 + x 3 2 + x 2 x 4 + x 3 2 + x 2

lim x → - ∞ ⁡ x 4 + x 3 2 - x 2 x 4 + x 3 4 - x = lim x → - ∞ ⁡ x 4 + x 3 - x 4 x 4 + x 3 4 - x x 4 + x 3 2 + x 2

lim x → - ∞ ⁡ x 4 + x 3 2 - x 2 x 4 + x 3 4 - x = lim x → - ∞ ⁡ x 3 x 4 + x 3 4 - x x 4 + x 3 2 + x 2

Agora sim! Raiz só no denominador! Parece que não ajudou mas relaxa que eu te garanto que ajudou! Mesmo a indeterminação não tendo indo embora ainda...

lim x → - ∞ ⁡ x 3 x 4 + x 3 4 - x x 4 + x 3 2 + x 2 = - ∞ ∞ - ∞ 4 + ∞ ∞ - ∞ 2 + ∞

...podemos tentar uma outra estratégia: por as maiores potências de x em cima e em baixo em evidência. Vamos ter:

lim x → - ∞ ⁡ x 3 x 4 + x 3 4 - x x 4 + x 3 2 + x 2 = lim x → - ∞ ⁡ x 3 x 4 1 + 1 x 4 - x x 4 1 + 1 x 2 + x 2

= lim x → - ∞ ⁡ x 3 x ∙ 1 + 1 x 4 - x x 2 ∙ 1 + 1 x 2 + x 2

A gente pode ainda se livrar desse módulo inconveniente se lembrarmos que pela definição:

x = x ,     s e   x ≥ 0 - x ,     s e   x < 0

Como o limite é pra x → - ∞ , vale a forma de baixo. Logo:

= lim x → - ∞ ⁡ x 3 - x ∙ 1 + 1 x 4 - x x 2 ∙ 1 + 1 x 2 + x 2

= lim x → - ∞ ⁡ x 3 x ∙ - 1 + 1 x 4 - 1 ∙ x 2 ∙ 1 + 1 x 2 + 1

= lim x → - ∞ ⁡ x 3 x 3 ∙ - 1 + 1 x 4 - 1 1 + 1 x 2 + 1

= lim x → - ∞ ⁡ 1 - 1 + 1 x 4 - 1 1 + 1 x 2 + 1

Cara depois dessa doidera toda aí sim a indeterminação sumiu! Duvida? Substitui ai no limite! Vamos ter:

lim x → - ∞ ⁡ 1 - 1 + 1 x 4 - 1 1 + 1 x 2 + 1 = 1 - 1 + 0 4 - 1 1 + 0 2 + 1

= 1 - 1 4 - 1 1 2 + 1 = 1 - 2 2 = - 1 4

Resposta

lim x → - ∞ ⁡ x 4 + x 3 4 + x = - 1 4

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