Exercícios Resolvidos de Conjugado

Elaboração Própria

Calcule o limite abaixo:

lim x 1 x 3 - 1 x - 1

Dica: use os produtos notáveis

a 3 - b 3 = ( a - b ) ( a 2 + a b + b 2 )

c 2 - d 2 = ( c + d ) ( c - d )

Passo 1

Se tentarmos substituir o valor para o qual x tende, veremos que chegamos a uma indeterminação:

lim x 1 x 3 - 1 x - 1 0 0

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Portanto, vamos aplicar o primeiro produto notável sugerido no numerador, que tem raízes cúbicas. Faremos a = x 3 e b = 1 :

a - b a 2 + a b + b 2 = a 3 - b 3

x 3 - 1 x 3 2 + x 3 + 1 2 = x 3 3 - 1 3 = x - 1

Ou seja, devemos multiplicar em cima e embaixo o conjugado x 3 2 + x 3 + 1 2 para gerar x - 1 em cima.

Passo 3

Agora, para o segundo produto notável, trabalhando quadrados, aplicamos no caso do denominador do limite, que tem raiz quadrada:

c + d c - d = c 2 - d 2

Para o denominador, fazemos c = x e d = 1 :

x + 1 x - 1 = x 2 - 1 2 = x - 1

Devemos, portanto, multiplicar em cima e embaixo por x + 1 , visando obter x - 1 no denominador.

Passo 4

Substituindo na expressão:

lim x 1 x 3 - 1 x - 1 = lim x 1 x 3 - 1 x - 1 x 3 2 + x 3 + 1 2 x 3 2 + x 3 + 1 2 x + 1 x + 1

= lim x 1 x - 1 x - 1 x + 1 x 3 2 + x 3 + 1 2

= lim x 1 x + 1 x 3 2 + x 3 + 1 2 = 1 + 1 1 3 2 + 1 3 + 1 2

= 1 + 1 1 + 1 + 1 = 2 3

Resposta

lim x 1 x 3 - 1 x - 1 = 2 3

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