Exercícios Resolvidos de Conjugado

USP - Cálculo 1 - P1 2011 - 1 c

Calcule o limite ou explique porque não existe.

lim x - x 2 + x 3 + 1 3 - x 2 - 2 x

Passo 1

Olha, se substituirmos esse limite caímos numa indeterminação:

lim x - x 2 + x 3 + 1 3 - x 2 - 2 x = -

= -

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora devemos pensar numa maneira de resolver algebricamente. Uma boa ideia seria eliminar as raízes que estão em subtração. Como o limite envolve raízes quadradas, podemos usar o seguinte produto notável, envolvendo quadrados:

a - b a + b = a 2 - b 2

Com a = x 2 + x 3 + 1 3 e b = x 2 - 2 x . Assim, fica multiplicado em cima e embaixo o termo ( a + b ) :

lim x - x 2 + x 3 + 1 3 - x 2 - 2 x x 2 + x 3 + 1 3 + x 2 - 2 x x 2 + x 3 + 1 3 + x 2 - 2 x

= lim x - x 2 + x 3 + 1 3 - x 2 - 2 x x 2 + x 3 + 1 3 + x 2 - 2 x

= lim x - x 3 + 1 3 + 2 x x 2 + x 3 + 1 3 + x 2 - 2 x

Passo 3

Agora, talvez esteja estranho de visualizar, mas o grau do polinômio de cima é 1 e o de baixo também. Nota que os x 2 estão em raízes quadradas, então o grau é 1 , coisa similar acontece nos x 3 dentro de raízes cúbicas. Enfim, vamos dividir tudo por x em cima e embaixo e depois sabemos que todos os termos divididos por qualquer potência de x vão à zero e sobrarão só constantes:

lim x - x 3 + 1 3 + 2 x x 2 + x 3 + 1 3 + x 2 - 2 x = lim x - x 1 + 1 x 3 3 + 2 x 2 1 + 1 x 3 + 1 x 6 3 + 1 - 2 x

Fica atento quando você tira um x 2 de dentro de uma raiz, não vai ficar x , vai ficar x , isso vem da própria definição de raiz quadrada.

lim x - x 1 + 1 x 3 3 + 2 x 1 + 1 x 3 + 1 x 6 3 + 1 - 2 x

Passo 4

O módulo de x pode ser aberto por:

x = - x ,     x < 0 x ,     x 0

Como ele quer x - , vamos ter

x = - x

E nosso limite vai ficar

lim x - x 1 + 1 x 3 3 + 2 - x 1 + 1 x 3 + 1 x 6 3 + 1 - 2 x = lim x - - 1 + 1 x 3 3 + 2 1 + 1 x 3 + 1 x 6 3 + 1 - 2 x

= - 1 + 0 3 + 2 1 + 0 + 0 3 + 1 - 0

= - 1 + 2 1 + 1

= - 3 2

Resposta

lim x - x 2 + x 3 + 1 3 - x 2 - 2 x = - 3 2

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