Calcule o limite, se possível. Caso conclua que não existe, justifique.

lim x → 0 ⁡ 1 - cos ³ ⁡ x x ² cos ⁡ ( x )

OBS: O enunciado foi alterado, pois o resultado do gabarito só pode ser obtido dessa forma.

Passo 1

No numerador, temos uma expressão da forma a 3 - b ³ . Podemos abri-la e escrever na forma

( a - b ) ( a 2 + a b + b 2 )

Vamos nessa.

lim x → 0 ⁡ ( 1 - cos ⁡ x ) ( 1 2 + cos ⁡ x + cos 2 ⁡ x ) x ² cos ⁡ ( x )

Agora temos no numerador a expressão 1 - cos ⁡ x . Se multiplicarmos por 1 + cos ⁡ x teremos 1 - cos ² ⁡ x , que pode ser substituído por sen ² ⁡ x , e aí poderemos usar o limite fundamental trigonométrico.

lim x → 0 ⁡ 1 - cos ⁡ x 1 2 + cos ⁡ x + cos 2 ⁡ x x ² cos ⁡ x . ( 1 + cos ⁡ x ) ( 1 + cos ⁡ x )

lim x → 0 ⁡ 1 - cos ² ⁡ x 1 2 + cos ⁡ x + cos 2 ⁡ x x ² cos ⁡ x ( 1 + cos ⁡ x )

lim x → 0 ⁡ sen ² ⁡ x 1 2 + cos ⁡ x + cos 2 ⁡ x x ² cos ⁡ x ( 1 + cos ⁡ x )

Usando o limite fundamental trigonométrico:

lim x → 0 ⁡ 1 + cos ⁡ x + cos 2 ⁡ x cos ⁡ x ( 1 + cos ⁡ x )

Passo 2

Agora é só fazer a substituição.

lim x → 0 ⁡ 1 + cos ⁡ x + cos 2 ⁡ x cos ⁡ x ( 1 + cos ⁡ x ) = 1 + cos ⁡ 0 + cos 2 ⁡ 0 cos ⁡ 0 ( 1 + cos ⁡ 0 ) = 1 + 1 + 1 1 ( 1 + 1 ) = 3 2

Resposta

3 2

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