Calcule os limites abaixo. Justifique suas respostas.

a)

lim x → a ⁡ x - a x 3 - a 3

Passo 1

De início substituímos e analisamos o comportamento:

lim x → a ⁡ x - a x 3 - a 3 = a - a a 3 - a 3 = 0 0

Indeterminação. Agora, essa aí é bem característica, se você fez os nossos exercícios recomendados deve ter uma noção de como sair. A gente vai usar dois produtos notáveis, um em cima e um embaixo, para consertar essas indeterminações com raiz (lembrando que para manter a igualdade temos que multiplicar em cima e embaixo cada termo). Os produtos são esses:

a - b a + b = a 2 - b 2 → x - a x + a = x - a

a - b a 2 + a b + b 2 = a 3 - b 3 → x 3 - a 3 x 2 3 + a x 3 + a 3 2 = x - a

Ok, então vamos multiplicar pelos termos que eu enunciei aqui (em cima e embaixo, como já disse):

lim x → a ⁡ x - a x 3 - a 3 = lim x → a ⁡ x - a x 3 - a 3 . x + a x 2 3 + a x 3 + a 3 2 x 2 3 + a x 3 + a 3 2 x + a

lim x → a ⁡ x - a x - a x 2 3 + a x 3 + a 3 2 x + a

Dá para cortar aqueles dois termos iniciais. O limite se resume a essa aqui:

lim x → a ⁡ x 2 3 + a x 3 + a 3 2 x + a = a 2 3 + a 2 3 + a 3 2 a + a = 3 a 2 3 2 a = 3 a 2 3 2 a 1 2 = 3 a 2 3 - 1 2 2 = 3 a 1 6 2

Resposta

lim x → a ⁡ x - a x 3 - a 3 = 3 a 1 6 2

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