Calcule o seguinte limite, sem usar a regra de L’Hôpital:

lim x → 64 ⁡ x - 8 x 3 - 4

Passo 1

A primeira coisa a fazer é substituir o ponto do limite: lim x → 64 ⁡ x - 8 x 3 - 4 = 8 - 8 4 - 4 = 0 0

Ops! Temos uma indeterminação, então precisamos manipular nosso limite para chegar no resultado.

Passo 2

Como temos raiz com x → c o n s t , vamos resolver o problema usando conjugado. Temos raiz tanto no numerador quanto no denominador, então vamos ter que multiplicar e dividir duas vezes, ok?

O conjugado da parte com raiz quadrada é na forma:

a + b ⟹ x + 8

Já para a raiz cubica, temos:

a 2 + a b + b 2 ⟹ x 2 / 3 + 4 x 1 / 3 + 16

Assim, o limite ficará:

lim x → 64 ⁡ x - 8 x 3 - 4 = lim x → 64 ⁡ x - 8 x 3 - 4 ⋅ x + 8 x + 8 ⋅ x 2 / 3 + 4 x 1 / 3 + 16 x 2 / 3 + 4 x 1 / 3 + 16 =

Passo 3

Agora vamos reorganizar tudo, não distribuindo o que não for simplificar o problema:

lim x → 64 ⁡ x - 64 x 2 / 3 + 4 x 1 / 3 + 16 x - 64 x + 8

Agora podemos cortar parte do numerador com o denominador, ficando:

lim x → 64 ⁡ x 2 / 3 + 4 x 1 / 3 + 16 x + 8

Substituindo no ponto: lim x → 64 ⁡ x 2 / 3 + 4 x 1 / 3 + 16 x + 8 = 64 2 / 3 + 4 ⋅ 64 1 / 3 + 16 64 + 8 = 16 + 16 + 16 8 + 8 = 3

Resposta

lim x → 64 ⁡ x - 8 x 3 - 4 = 3

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