Enunciado

Calcule os seguintes limites, caso existam. Justifique!

b ) lim x → 2 - ⁡ 5 - x 2 - 1 x 3 - 4 x 2 + 4 x

Passo 1

Vamos começar aí dando uma substituída inicial do valor para ver para onde vai o limite:

lim x → 2 - ⁡ 5 - x 2 - 1 x 3 - 4 x 2 + 4 x = 0 0

É, deu ruim. Vamos fazer assim, olha para esse denominador. Como eu já conseguiria melhorar esse pedaço dentro da raiz?

x 3 - 4 x 2 + 4 x = x ( x 2 - 4 x + 4 ) = x x - 2 2

Até aí beleza. Agora, em cima eu tenho raiz e uma subtração. Me faz lembra daqueles casos em que eu tenho que multiplicar pelo conjugado (em cima e embaixo) para tirar a raiz e a indeterminação:

lim x → 2 - ⁡ 5 - x 2 - 1 x 3 - 4 x 2 + 4 x = lim x → 2 - ⁡ 5 - x 2 - 1 x x - 2 2 5 - x 2 + 1 5 - x 2 + 1

lim x → 2 - ⁡ 5 - x 2 - 1 x x - 2 2 5 - x 2 + 1 = lim x → 2 - ⁡ 4 - x 2 x x - 2 2 5 - x 2 + 1

Se eu tirar o x - 2 da raiz (não esquecendo que ele sai como módulo) e melhorar em cima, vou ter um termo para cortar:

lim x → 2 - ⁡ 4 - x 2 x x - 2 2 5 - x 2 + 1 = lim x → 2 - ⁡ ( 2 - x ) ( 2 + x ) x   | x - 2 | 5 - x 2 + 1

Aqui vem um detalhe importante. Eu estou aproximando a função pelo lado menor que 2 , quer dizer, x → 2 - . Nessa região, o módulo de ( x - 2 ) não vale o próprio ( x - 2 ) n e sim seu oposto, ( 2 - x ) . Logo, podemos cortar um termo com o outro diretamente, dando uma boa simplificada:

lim x → 2 - ⁡ ( 2 - x ) ( 2 + x ) x   | x - 2 | 5 - x 2 + 1 = lim x → 2 - ⁡ ( 2 + x ) x   5 - x 2 + 1

Agora é substituir e acabou!

lim x → 2 - ⁡ 2 + x x   5 - x 2 + 1 = 4 2 2 = 2 2

Resposta

lim x → 2 - ⁡ 2 + x x   5 - x 2 + 1 = 4 2 2 = 2 2

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