Um bloco de massa m = 1,00   k g e com velocidade inicial v 0 = 5,00   m / s na parte horizontal do trajeto, sobe uma superfície circular sem atrito de raio R = 2,50   m .

Dados: g = 10   m / s 2

a) Determine o módulo da velocidade do bloco na posição ilustrada na figura se θ = π / 3 .

b) Determine o valor da força normal que age no bloco nesta mesma posição.

Passo 1

Como não há atrito, a energia mecânica do sistema se conserva:

E M 0 = E M

Isso também acontece pois a força normal N → atua sempre perpendicular ao plano e a caixa desliza na direção do plano, ou seja, essa força não realiza trabalho.

Passo 2

Na letra (a), queremos a velocidade do bloco na posição subindo na rampa com uma angulação de π / 3 .

Então, vamos conservar a energia em um momento antes do bloco atingir a rampa e no instante final, onde ele está na posição da figura.

Inicialmente, o bloco apresenta apenas energia cinética associada a sua velocidade v 0 :

E M 0 = K 0

E M 0 = m v 0 2 2

Já na posição da figura, o bloco apresenta tanto uma energia cinética quanto uma energia potencial gravitacional:

E M = K + U g

E M = m v 2 2 + m g h

Mas qual a altura h que a caixa subiu a partir da altura do chão?

Passo 3

Para encontrar essa altura, vamos olhar para o triângulo com o ângulo θ .

A altura h do bloco é essa:

Nós conhecemos o raio R :

E podemos achar aquele trecho que falta, usando o cosseno de θ :

c o s θ = x R

x = R c o s θ

Assim, temos que h é:

R = h + x

R = h + R c o s θ

h = R 1 - c o s θ

Passo 4

Voltando à conservação de energia, temos:

m v 0 2 2 = m v 2 2 + m g h

Substituindo o valor de h :

m v 0 2 2 = m v 2 2 + m g R 1 - c o s θ

Costando a mass m e fazendo o MMC, temos:

v 0 2 = v 2 + 2 g R 1 - c o s θ

v 2 = v 0 2 - 2 g R 1 - c o s θ

Substituindo os valores, temos:

v 2 = 5 2 - 2 10 2,5 1 - cos ⁡ π 3

O ângulo π / 3 é:

π = 180 °

π 3 = 60 °

Então:

v 2 = 25 - 50 1 - 1 2

v 2 = 25 - 50 1 2

v 2 = 25 - 25

v = 0

Ou seja, o bloco atinge aquele ponto com velocidade zero (ponto de altura máxima).

Passo 5

Na letra (b), queremos a força normal que age nessa posição.

Sabemos que a força normal é sempre perpendicular à superfície:

Mas como podemos conseguir uma relação para essa força?

Como a trajetória da rampa é circular, a força resultante na direção radial (mesma direção da normal) deve atuar como força centrípeta:

F R r a d i a l = F c t p

E nós conhecemos uma expressão para força centrípeta. É essa aqui:

F R r a d i a l = m v 2 R

Mas lembra que na letra (a), vimos que o bloco está parado nessa posição?

v = 0

Ahh, então, nesse instante a força centrípeta é zero:

F R r a d i a l = m 0 2 R

F R r a d i a l = 0

Assim, vamos usar a relação de que a força resultante nessa direção é nula.

OBS: A força resultante apenas na direção radial é zero. Isso não significa que a força resultante total sobre o bloco é nula, pois ainda existe uma aceleração na direção tangencial (mesma direção da rampa) causada pela componente da força peso P → .

Passo 6

Agora vamos achar a força resultante na direção radial.

Quais são as forças atuando sobre o bloco?

Além da força normal N → , temos também a força peso P → :

Passo 7

Agora, vamos decompor a força peso em suas componentes na direção radial e tangencial.

Aquele ângulo θ aparece no ponto de aplicação de P → :

Então, temos:

A força resultante na direção radial (que aponta para o centro da trajetória circular) é:

F R r a d i a l = 0

N - P c o s θ = 0

N = m g c o s π 3

Substituindo os valores, temos:

N = 1 10 1 2

N = 5   N

Resposta

(a)

v = 0

(b)

N = 5   N

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