Um objeto de massa m e dimensões desprezíveis parte do repouso e de uma altura 4 R , deslizando por uma rampa suave até encontrar uma superfície horizontal, por onde segue até encontrar uma rampa circular de raio R , sobre a qual continua seu movimento (veja a figura). Não há atrito em todo o percurso do objeto, que se dá em um mesmo plano vertical (da figura). Expressando suas respostas em termos dos unitários horizontal i ^ e vertical j ^ indicados na figura, determine

  1. O vetor velocidade v → , nos pontos A , B e C ;
  2. O vetor de força normal, N → , nos pontos A , B e C .

Passo 1

Vamos começar escrevendo os dados do problema

D a d o s m R g

Vamos fazer isso para verificar depois cada resposta para ver se está de acordo com os dados do problema.

Passo 2

a)

Para acharmos a velocidade em cada ponto devemos ter o seu módulo.

Como não temos forças dissipativas, vulgo força de atrito, ao longo de todo o movimento a energia mecânica se conserva. Além disso, ao longo de todo o movimento as únicas energias presentes são a cinética e a potencial gravitacional.

Então

E m 0 = E m A = E m B = E m C

Passo 3

Vamos achar cada uma dessas energias mecânicas

E m 0 = m g 4 R

Isso porque ele é largado do repouso.

Passo 4

E m A = K

E m A = m v A 2 2

Isso porque ele está no chão.

Passo 5

E m B = K + U g

E m B = m v B 2 2 + m g R

Nesse ponto ele possui altura e velocidade,

Passo 6

  E m C = K + U g

E m C = m v C 2 2 + m g 2 R

Nesse ponto ele possui altura e velocidade,

Passo 7

Vamos igualar a energia em cada ponto com a energia inicial para acharmos a velocidade de cada ponto. Vamos também escrevê-las na forma vetorial, já que é pedido no enunciado.

Começando pelo ponto A

E m 0 = E m A

m g 4 R = m v A 2 2

v A 2 = 8 g R

v A = 8 g R

A velocidade de A é tangente ao movimento, que nos diz que é para direita. Isso quer dizer o que? Que ela é positiva e esta no e i x o   x .

v → A = 8 g R i ^

Passo 8

Agora no ponto B

E m 0 = E m B

m g 4 R = m v B 2 2 + m g R

v B 2 = 8 g R - 2 g R

v B = 6 g R

A velocidade de B é tangente ao movimento, que nos diz que é para cima. Isso quer dizer o que? Que ela é positiva e esta no e i x o   y .

v → B = 6 g R j ^

Passo 9

Por fim no ponto C

E m 0 = E m C

m g 4 R = m v B 2 2 + m g 2 R

v C 2 = 8 g R - 4 g R

v C = 4 g R = 2 g R

A velocidade de C é tangente ao movimento, que nos diz que é para esquerda. Isso quer dizer o que? Que ela é negativa e esta no e i x o   x .

v → C = - 2 g R i ^

Passo 10

b)

Devemos achar as forças em cada ponto. Como estamos em um movimento circular, devemos ficar atentos a qual força é iguala centrípeta, que será a força ou a soma de forças que aponta para o centro.

No ponto A temos

Então

F c p = N A - P

m v A 2 R = N A - m g

N A = m v A 2 R + m g

N A = m 8 g R 2 R + m g

N A = 8 m g + m g

N A = 9 m g

Escrevendo na forma vetorial, como ela aponta para cima

N → A = 9 m g j ^

Passo 11

No ponto B temos

Então

F c p = N B

m v B 2 R = N B

N B = m 6 g R 2 R

N B = 6 m g

Escrevendo na forma vetorial, como ela aponta para esquerda

N → B = - 6 m g i ^

Passo 12

No ponto C temos

Então

F c p = N C + P

m v C 2 R = N C + m g

N C = m v C 2 R + m g

N C = m 4 g R 2 R - m g

N C = 4 m g - m g

N C = 3 m g

Escrevendo na forma vetorial, como ela aponta para baixo

N → C = - 3 m g j ^

Resposta

  1. v → A = 8 g R i ^
  2. v → B = 6 g R j ^

    v → C = - 2 g R i ^

  3. N → A = 9 m g j ^

N → B = - 6 m g i ^

N → C = - 3 m g j ^

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