Enunciado

Um projétil é lançado verticalmente da superfície da Terra com rapidez inicial de 9,42   k m / s . Desprezando-se o atrito com o ar, a que altura acima da superfície da Terra ele chegará?

Dados:

Constante gravitacional: G = 6,67 × 10 - 11   N m 2 / k g 2

Raio da Terra: R T = 6,38 × 10 6   m

Massa da Terra: M T = 5,98 × 10 24   k g

Passo 1

Temos a velocidade inicial e sabemos como calcular a aceleração da gravidade sofrida pelo corpo, porém como a aceleração é variável conforme a distância, esse problema fica um pouquinho mais chato de se resolver, pois precisamos de uma integral.

Mas, ainda bem que existe um outro caminho...

Vamos pensar no projétil. Se a resistência do ar é desprezível, a única força atuando sobre ele é a força gravitacional com a Terra.

Como a força gravitacional é uma força conservativa (não retira energia do sistema), podemos dizer que a energia mecânica se conserva:

E M 0 = E M

Opa, então é isso mesmo que queremos.

Passo 2

Inicialmente, o projétil está na superfície da Terra e com uma velocidade de 9,42   k m / s .

Então, a energia mecânica inicial E M 0 será a soma da energia potencial gravitacional U com a energia cinética K :

E M 0 = K + U

E M 0 = m v 2 2 + - G M m r

Mas qual é a distância r ?

A distância r do corpo ao centro do planeta quando ele está na superfície é apenas o raio do planeta:

r = R T

Então:

E M 0 = m v 2 2 + - G M T m R T

Passo 3

Já na situação final, o corpo atingiu a altura máxima, ou seja, sua velocidade chegou a zero e ele parou.

Por isso, ele apresenta apresenta apenas uma energia potencial gravitacional U , enquanto sua energia cinética é nula:

E M = U

E M = - G M m r

Mas quem é a distância r agora?

A distância r é a soma do raio da Terra R T com a altura h a partir da superfície da Terra:

r = h + R

Assim, a energia mecânica final é:

E M = - G M T m r

Passo 4

Conservando a energia, temos:

E M 0 = E M

m v 2 2 + - G M T m R T = - G M T m r

Queremos achar a distância r que o projétil alcançou.

Cortando m , temos:

v 2 2 - G M T R T = - G M T r

r v 2 2 - G M T R T = - G M T

r = - G M T v 2 2 - G M T R T

Passo 5

Antes de substituir os valores, vamos passar aquela velocidade para a unidade padrão de m / s , afim de facilitar a unidade final:

1   k m = 10 3   m

Então:

v = 9,42   k m / s = 9,42 × 10 3   m / s

Passo 6

Agora, mãos à obra, vamos calcular esse monstro aí:

r = - G M T v 2 2 - G M T R T

Vamos calcular cada um dos termos separadamente para não nos enrolarmos.

Aquele numerador fica:

G M T = 6,67 × 10 - 11 5,98 × 10 24  

G M T = 3,99 × 10 14

No denominador, temos:

v 2 2 = 9,42 × 10 3 2 2

v 2 2 = 4,437 × 10 7

Ainda no denominador, temos também:

G M T R T = 6,67 × 10 - 11 5,98 × 10 24   6,38 × 10 6

G M T R T = 6,252 × 10 7

Juntando tudo, temos:

r = - 3,99 × 10 14 4,437 × 10 7 - 6,252 × 10 7

r = - 3,99 × 10 14 - 1,815 × 10 7

r = 2,198 × 10 7   m

Pronto, achamos a distância r .

Mas muita calma nessa hora, essa ainda não é a resposta.

Passo 7

Queremos a altura h a partir da superfície da Terra:

Como a distância r é:

r = h + R T

Devemos subtrair o raio da Terra dessa distância, para descobrir a altura a partir da superfície:

h = r - R T

h = 2 , 198 × 10 7 - 6,38 × 10 6

h = 21,98 × 10 7 - 6,38 × 10 6

h = 15,6 × 10 6   m

h = 1,56 × 10 7   m

Resposta

h = 1,56 × 10 7   m

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