38. Uma roda cilíndrica de raio R e massa M , rola sem deslizar sobre um plano horizontal, deslocando-se com velocidade v , e sobe sobre um plano inclinado de inclinação θ , continuando a rolar sem deslizamento. Até que altura h o centro da roda subirá sobre o plano inclinado?

Passo 1

Iae! Como vai, meu querido? 😁 Bora aprender mais uma questão? 😉

Nesse problema temos um cilindro de massa M e raio R que rola sob uma superfície plana horizontal com uma velocidade v até começar a subir em um plano inclinado que faz um ângulo θ com a horizontal.

Com isso queremos descobrir qual é a altura máxima h que o centro do cilindro atingirá nessas condições.

Parece complicado, não é? 👀

Nesse caso, temos que aplicar a lei da conservação de energia que nos diz que a energia inicial de um sistema sem perdas é igual a energia final do sistema.

E i = E f

Inicialmente o cilindro possui energia cinética de translação e energia cinética de rotação, ou seja

E i = M v 2 2 + I ω 2 2

Já no instante final, quando o cilindro atinge o ponto mais alto do plano inclinado, toda a energia está condensada em energia potencial gravitacional pois não há movimento.

E f = M g h - R

Consideramos a altura h - R pois o centro de massa já estava inicialmente a uma altura R e o ganho de altura foi h - R ...

Tranquilo até aqui? 😎

Passo 2

Vamos manipular um pouquinho nossas equações...

Na energia inicial E i , podemos escrever ω como a relação entre a velocidade tangencial (a mesma que a velocidade do centro de massa) e o raio R

ω = v R

Além disso sabemos que o momento de inercia I do cilindro é dado por

I = M R 2 2

Substituindo essas informações em E i , temos

E i = M v 2 2 + I ω 2 2 → E i = M v 2 2 + M R 2 2 v R 2 2

E i = M v 2 2 + M R 2 v 2 4 R 2

E i = M v 2 2 + M v 2 4

E i = 3 M v 2 4

Igualando a energia inicial à energia final, vamos obter

E i = E f

3 M v 2 4 = M g h - R

Simplificando e isolando h

3 v 2 4 = g h - R

h - R = 3 v 2 4 g

h = R + 3 v 2 4 g

Pegou o esquema? Responde Aí! 😁

Resposta

h = R + 3 v 2 4 g

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