Um satélite meteorológico de 1000   k g precisa ser colocado em uma órbita circular 300   k m acima da superfície terrestre. Determine: a) a velocidade, o período e a aceleração centrípeta desse satélite? b) calcule a diferença entre a energia mecânica total, quando o satélite está em órbita, e a energia mecânica total, quando o satélite estava em repouso na plataforma de lançamento na Terra. Observação: essa diferença é igual ao trabalho necessário para colocar esse satélite em órbita.

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente encontrar a velocidade, o período e a aceleração centrípeta de um satélite de massa m = 1000   k g que foi colocado em uma órbita circular a 300   k m da superfície da Terra. Em seguida, ele quer saber o trabalho necessário pra colocar o satélite em órbita.

Vamos supor que essa órbita seja aproximadamente circular e que a força gravitacional seja igual, em módulo, a força centrípeta. Isso significa que a velocidade orbital é a velocidade tangencial, e que pode ser calculada de acordo com a seguinte fórmula:

v = G M h + R

Onde G é a constante gravitacional, m a massa da Terra, R o raio do planeta, e h a altura do satélite em relação a superfície terrestre.

O período de revolução é o tempo necessário para o objeto dar uma volta ao redor do planeta, cuja intensidade pode ser calculada de acordo com a seguinte fórmula:

T = 4 π 2 h + R 3 G M

E a aceleração de um corpo em movimento circular uniforme é dada por:

a c p = v 2 h + R

Por fim, vamos determinar o trabalho para colocar o satélite em órbita, considerando que em órbita ele possui uma energia cinética 1 2 m v 2 e uma energia potencial G M m R , e na superfície terrestre ele possui apenas energia potencial. Assim, temos:

W = E f - E i = 1 2 m v 2 - G M m R - - G M m R

W = 1 2 m v 2

Então vamos lá!

Passo 2

Vamos começar calculando a velocidade:

v = G M h + R

Substituindo G = 6,67 ∙ 10 - 11   m 3 / k g ∙ s 2 , M = 6 ∙ 10 24 k g , h = 300 ∙ 10 3   m e R = 6,4 ∙ 10 6   m :

v = ( 6,67 ∙ 10 - 11   ) ( 6 ∙ 10 24 ) ( 300 ∙ 10 3 ) + ( 6,4 ∙ 10 6 )

v = 7746   m / s

Agora vamos usar a segunda fórmula pra calcular o período de revolução:

T = 4 π 2 h + R 3 G M

T = 4 π 2 ( 0,3 ∙ 10 6 + 6,4 ∙ 10 6 ) ( 6,67 ∙ 10 - 11 ) ( 6 ∙ 10 24 ) = 5557   s

E substituindo na fórmula da aceleração centrípeta, temos:

a c p = v 2 h + R

a c p = 7746 2 0,3 ∙ 10 6 + 6,4 ∙ 10 6 = 8,95   m / s 2

Passo 3

Por fim, calculando o trabalho pra colocar o satélite em órbita, temos:

W = 1 2 m v 2

Substituindo m = 1000   k g e v = 7746   m / s , vamos obter:

W = 1 2 1000 7746

W = 3873   k J

Prontinho, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

W = 3873   k J

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