Dois corpos de massas iguais m 1 = m 2 = m se deslocam em uma mesa horizontal sem atrito. Inicialmente eles possuem velocidades de mesmo módulo v 0 e o objeto de massa m 1 se desloca fazendo um ângulo θ com o eixo O Y enquanto o de massa m 2 fazendo o mesmo ângulo θ , porém com o eixo O X , conforme a figura a seguir. Em um certo instante, os corpos colidem e passam a se deslocar juntos. O trabalho realizado pelas forças internas, que atuam durante a colisão, sobre o sistema será de:

(a) W = - m v 0 2 2

(b) W = m v 0 2 2

(c) O trabalho é nulo.

(d) W = - 3 m v 0 2 2

(e) W = 3 m v 0 2 2

(f) W = 3 m v 0 2 4

Passo 1

A questão trata de uma colisão bidimensional, em que temos as massas e as velocidades iniciais. Como eles saem juntos da colisão, conseguimos encontrar a velocidade final dessas partículas.

Tá bom, mas pra que a gente quer essa velocidade final?

Tá vendo que a questão pede o trabalho das forças internas que atuam nessa colisão?

Uma boa maneira de relacionar isso com os dados que temos é através do teorema trabalho-energia cinética:

W R = ∆ K

Como as forças internas são as únicas resultantes durante essa colisão, podemos dizer que o trabalho delas será realmente a variação de energia cinética do sistema:

W F i n t = ∆ K

Passo 2

Beleza, vamos achar a variação da energia cinética na colisão:

∆ K = K - K 0

Bom, como já temos as massas e as velocidades iniciais, podemos calcular a energia cinética inicial K 0 :

K 0 = m 1 v 0 2 2 + m 2 v 0 2 2

Como m 1 = m 2 = m , temos:

K 0 = m v 0 2 2 + m v 0 2 2

K 0 = m v 0 2

Passo 3

Para encontrar a energia cinética final K , precisamos primeiro encontrar a velocidade final com que as partículas saem da colisão.

Então, vamos tentar analisar por meio da conservação do momento linear do sistema:

p → 0 = p →

Mas como as velocidades têm umas direções meio chatas, dá uma olhada no que podemos fazer.

Passo 4

Tá vendo que esse ângulo é 90 ° ?

Então, podemos dizer que esse ângulo aqui, é 90 ° - θ :

Okay, agora olha pro ângulo que as velocidades das partículas têm entre si:

θ + 90 ° - θ

Então, as velocidades das partículas fazem um ângulo de 90 ° entre si.

Ahh, ótimo. Então podemos fazer o nosso sistema de eixos nas direções das velocidades.

Isso vai simplificar bastante a nossa vida.

Putz, mas eu nunca ia pensar nisso na hora da prova...

Sem problemas, a gente sempre pode decompor as velocidades de cada partícula nos eixos x e y tradicionais usando s e n e c o s que vamos chegar no resultado certinho.

Passo 5

Agora que temos um outro sistema de eixos, podemos conservar o momento linear separadamente em cada um deles:

p 0 x ' = p x ' p 0 y ' = p y '

Começando com o eixo x ' , temos apenas o momento linear da partícula 1 inicialmente, então:

m 1 v 0 = m 1 + m 2 v x '

m v 0 = 2 m v x '

v x ' = v 0 2

Essa será a componente da velocidade final em x ' .

No eixo y ' , temos uma situação parecida:

m 2 v 0 = m 1 + m 2 v y '

m v 0 = 2 m v y '

v y ' = v 0 2

Essa será a componente da velocidade em v y ' .

Ou seja, a velocidade final das duas partículas será:

v → = v 0 2   i ' ^ + v 0 2   j ' ^

Passo 6

Agora, é só a gente achar o módulo dessa velocidade final para calcular a energia cinética final K .

O módulo de v → será:

v 2 = v x ' 2 + v y ' 2

v 2 = v 0 2 2 + v 0 2 2

v 2 = v 0 2 2

Já deixamos elevado ao quadrado na malandragem de calcular a energia cinética K :

K = m 1 + m 2 v 2 2

K = 2 m v 0 2 2 2

K = m v 0 2 2

Passo 7

Por fim, conseguimos a variação de energia cinética ∆ K :

∆ K = K - K 0

∆ K = m v 0 2 2 - m v 0 2

∆ K = - m v 0 2 2

Pronto, achamos então o trabalho das forças internas:

W F i n t = ∆ K

W F i n t = - m v 0 2 2

Resposta

Letra (a)

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