Dois veículos espaciais em órbita estão acoplados e viajam a 3   k m / s . A massa de um deles é de 1000   k g e a do outro 2000   k g . Para separá-los, é detonada entre os dois uma pequena carga explosiva que comunica uma energia cinética de 3000   J ao conjunto dos dois veículos, medida em relação ao centro de massa do sistema. A velocidade relativa de afastamento um do outro é:

(a) 3   k m / s

(b) 1   k m / s

(c) 3   m / s

(d) 1   m / s

(e) 2   m / s

Passo 1

Então galera, essa é uma questão um tanto diferente. Se você tentar resolver utilizando conservação de momento linear adoidado sem um referencial, não dará certo.

Primeiramente vamos dar nome aos bois:

m 1 = 1000   k g

m 2 = 2000   k g

Antes de qualquer coisa, é preciso definir um referencial. Como a energia cinética dada pela explosão é medida em relação ao centro de massa e, além disso, queremos saber a velocidade de afastamento entre os veículos, nada mais justo que definir o referencial como sendo o centro de massa.

Inicialmente, os veículos estão grudados, então não possuem velocidade em relação ao centro de massa.

Após a explosão, 3000   J de energia cinética são transportados para o centro de massa, fazendo com que os veículos comecem a se afastar do centro de massa. Vamos trabalhar com as variáveis v 1 e v 2 que são as velocidades de cada veículo em relação ao centro de massa após a explosão.

Passo 2

Agora que já começamos a entender o problema, vamos começar os cálculos!

A explosão é uma força interna no sistema. Pela fórmula:

d P → d t = F e x t

Sem força externa o momento linear não varia, a derivada é zero. Então podemos aplicar conservação do momento linear em relação ao centro de massa.

P a n t e s → = P d e p o i s →

Antes da explosão os veículos estão colados e não se movem em relação ao centro de massa lembra? Então a velocidade em relação ao centro de massa do sistema antes da explosão é nula e consequentemente o momento linear antes da explosão é nulo! Ficaremos apenas com:

P d e p o i s → = 0

m 1 v 1 + m 2 v 2 = 0

Ótimo, guarda essa informação ai! Agora precisamos de mais uma equação para descobrir as incógnitas. O problema nos deu que a explosão produziu uma energia cinética de 3000   J em relação ao centro de massa, ou seja, ele nos deu a energia cinética do sistema em relação ao centro de massa.

K s i s t e m a = 3000

1 2 m 1 v 1 2 + 1 2 m 2 v 2 2 = 3000

Guarde essa informação também!

Passo 3

Beleza. Agora pega aquelas duas informações que guardamos e vamos montar um sistema.

m 1 v 1 + m 2 v 2 = 0 1 2 m 1 v 1 2 + 1 2 m 2 v 2 2 = 3000

Vamos mexer na primeira equação para conseguir substituí-la na segunda.

m 1 v 2 + m 2 v 2 = 0

m 2 v 2 = - m 1 v 1

v 2 = - m 1 v 1 m 2

Agora vamos substituir isso na segunda equação:

1 2 m 1 v 1 2 + 1 2 m 2 v 2 2 = 3000

Substituindo:

1 2 m 1 v 1 2 + 1 2 m 2 - m 1 v 1 m 2 2 = 3000

Multiplicando tudo por 2:

m 1 v 1 2 + m 2 m 1 2 v 1 2 m 2 2 = 6000

Arrumando a equação:

m 1 v 1 2 + m 1 2 v 1 2 m 2 = 6000

m 1 m 2 v 1 2 + m 1 2 v 1 2 m 2 = 6000

Isolando o v 1 :

v 1 2 m 1 m 2 + m 1 2 m 2 = 6000

v 1 2 = 6000 m 2 m 1 m 2 + m 1 2

v 1 = 6000 m 2 m 1 m 2 + m 1 2

Substituindo os valores das massas:

v 1 = 6000   .   2000 1000   .   2000 + 1000 2

v 1 = 4

v 1 = 2   m / s

ATENÇÃO: Não se esqueça de que a energia cinética foi dada em Joule, logo a velocidade tem que sair em m / s , não em k m / s .

Vamos substituir equação para poder encontrar o v 2 :

v 2 = - m 1 v 1 m 2

v 2 = - 1000   .   2 2000

v 2 = - 1   m / s

Finalmente! Agora é só usar a definição de velocidade relativa:

v r e l = v 1 - v 2

v r e l = 2 - - 1

v r e l = 3   m / s

Resposta

Letra (c)

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