Um pêndulo de comprimento L = 1,0   m e massa m = 1,0 k g é solto do repouso a um ângulo de θ = 30 ° da vertical. Quando o pêndulo atinge a posição vertical, ele atinge uma caixa de massa M   =   3,0   k g , em repouso sobre uma mesa sem atrito. A mesa tem uma altura de h   =   1,0   m , conforme figura. Usar, se necessário, as aproximações c o s   30 °   ~ 0,9 e s e n   30 ° = 0,5 .

  1. Calcule a velocidade do pêndulo na posição vertical antes de atingir a caixa.
  2. Calcule a velocidade do pêndulo e da caixa logo após a colisão perfeitamente elástica.
  3. Determine o impulso sofrido pela caixa durante a colisão.
  4. Um carro de altura desprezível e massa M   =   3,0   k g é colocado na posição onde a caixa deveria cair no solo. A caixa cai sobre o carro e eles se grudam em uma colisão perfeitamente inelástica. Calcule a velocidade horizontal do carro logo após a caixa cair sobre ele.

Passo 1

  1. Conservando a energia, teremos:
  2. E i = E f ⇒ U i = K f

    m g h = 1 2 m v f 2 ⇒ v f =   2 g h

    Sendo L o comprimento do pêndulo e L c o s θ a componente vertical no momento em que o pêndulo inicia o movimento, podemos calcular h como:

    h = L - L c o s θ ⇒ h = 1 - 1.0,9 = 0,1   m

    Logo,

    v f =   2 . 10.0,1 =   2 = 1,4   m / s

    Passo 2

  3. Como a colisão é perfeitamente elástica, podemos conservar o momento linear e a energia cinética. Assim:
  4. m v = M V + m v f  

    m v 2 2 = M V 2 2 + m v f 2 2 ⇒   m v 2 = M V 2 + m v f 2  

    Substituindo os dados, teremos:

    1.1,4 = 3 V + v f   ( I )

    1 . 1,4 2 = 3 V 2 + 1 . v f 2 ⇒ 1,96 = 3 V 2 + v f 2   ( I I )

    Isolando v f em ( I ) e substituindo em ( I I ) , teremos:

    v f = 1,4 - 3 V

    1,96 = 3 V 2 + 1,4 - 3 V 2

    Resolvendo a equação encontraremos:

    V = 0,7   m / s

    Logo,

    v f = 1,4 - 3.0,7 = - 0,7   m / s

    Passo 3

  5. Sabendo que:
  6. I = ∆ p

    Para a caixa, teremos:

    I = M V - 0 ⇒ I = 3.0,7 = 2,1   k g . m / s

    Passo 4

  7. Como a colisão é perfeitamente inelástica, após a colisão, os corpos caminham juntos. Sabendo que não há forças externas atuando no sistema, podemos conservar o momento linear, assim:

M V = 2 M V f ⇒ V f = V 2 = 0,7 2 = 0,35   m / s

Resposta

a )   v = 1,4   m / s

b )   v f = - 0,7 m / s

V f = 0,7   m / s

c )   I = 2,1   k g . m / s

d )   v = 0,35   m / s

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