Um projetil de 100 g está viajando para o leste com módulo de velocidade igual a 5   m / s quando de repente explode em 3 pedaços. Um fragmento da explosão, com massa de 30 g ,   vai para o oeste a 6,8   m / ; outro fragmento, também de 30 g , viaja 30 ° a norte da velocidade inicial, com 16 m / s . Dados:

s e n 30 ° = 0,5

cos ⁡ 30 ° = 0,8

  1. Qual a velocidade (módulo, direção e sentido) do terceiro fragmento?
  2. Qual a velocidade (módulo, direção e sentido) do centro de massa imediatamente após a explosão? Justifique a sua resposta.
  3. Calcule a energia liberada na explosão.

Passo 1

a):

Bom galera, a ideia aqui é usar a conservação de momento linear tanto na direção y quanto na x , ou seja, vertical e horizontal.

Mas antes disso, vamos escrever as velocidades que nos foram dadas, assim como os momentos, na forma vetorial:

Pra isso, vamos considerar que o sentido positivo de x é o que aponta na direção leste.

Show? Então vamos lá:

A velocidade do projetil antes de explodir é totalmente horizontal, já que estava indo pra leste:

v p = 5 x ^

Então o momento é:

p p →   = m v p = 0,1.5 = 0,5 x ^

Esse é o momento inicial:

p i = 0,5 x ^

Após isso, o projetil explode e alguns fragmentos passam a ter componentes em y . Assim:

A parte que faz um ângulo de 30 ° com a direção leste tem momento igual a :

p 2 → = m v x 2 + v y 2 = 0 , 0 3 16 c o s 30 x ^ + 16 s e n 30 x ^ = 0,03 16 . 3 2 + 16.1 2 = 0,24 3 x ^ + 0,24 y ^

O outro fragmento que vai pra oeste fica assim:

p 1 = m v 1 = 0,03 . - 6,8 = - 0,204 x ^

E, é claro, temos o fragmento que a gente não sabe pra onde foi e que queremos descobrir. Massa dele vai ser a massa que restou pra se somar 100 g :

p s o b r o u = 0,04 v x + v y

Então, pelo equilíbrio na horizontal:

p h i = p h f

0,5 = - 0,204 + 0,24 3 + 0,04 v x → v x = 8 m / s

E pelo equilíbrio na vertical:

p v i = p v f

0 = 0,24 + 0,04 v y → v y = - 6 m / s

Então, a velocidade do terceiro fragmento é:

v 3 = 8 x ^ - 6 y ^

E o módulo dela vale:

v 3 = 8 2 + 6 2 = 10 m / s

Passo 2

b):

Essa pergunta é bem clássica: A velocidade continua sendo a mesma que antes da explosão, ou seja, vai ser a velocidade do projétil.

Por quê? Porque não houve atuação de forças externas no projétil, então a aceleração do centro de massa é nula:

F e x t = m a c t m a s s a

0 = m a c t m a s s a   → a c t m a s s a = 0

Assim, a velocidade vai ser:

v c t m a s s a = v p = 5 m / s   x ^  

Passo 3

c):

A gente pode descobrir isso fazendo a variação da energia cinética de todo mundo. Vamos primeiro calcular a energia cinética no inicio:

K i = m v p 2 2 = 0,1 . 5 2 2 = 1,25   J

E a energia cinética final será a soma das energias cinéticas de cada fragmento: K f = K 1 + K 2 + K 3 = 1 2 m 1 v 1 2 + m 2 v 2 2 + m 3 v 3 2

K f = 1 2 0,03 . 6,8 2 + 0,03 . 16 . 3 2 2 + 16.1 2 2 + 0,04 . 10 2 = 6.53 J

Então, os fragmentos receberam uma energia extra cinética. Essa energia foi:

∆ K = K f - K i = 6.53 - 1.25 = 5.3 J

Assim, a energia liberada foi:

E = - 5,3 J

Resposta

a):

v 3 = 8 x ^ - 6 y ^

v 3 = 10 m / s

b):

v c t m a s s a = 5 m / s   x ^  

c):

E = - 5,3 J

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