Considere no espaço E 3 um trapézio ABCD, em que AB, BC, CD e AD são lados desse trapézio e os lados AD e BC são paralelos, como ilustrado na figura abaixo:

Seja M o ponto do segmento CD tal que C M → = 2 3 C D → . Suponha que:

A D → = 6 ,     A B → = C D → = 1

E que as medidas dos ângulos B A ^ D e C D ^ A sejam iguais a π 3 . Seja v → um vetor não paralelo ao plano que contém o trapézio ABCD e considere a base

B = A D → , A B → , v →

De V 3 . As coordenadas do vetor A M → na base B são:

a )   17 18 , 1 3 , 0

b )   1 18 , 2 3 , 0

c )   13 15 , 1 3 , 0

d )   7 18 , 2 3 , 0

e )   1 6 , 1 3 , 0

Passo 1

Falaaa, blz??? Para começarmos a pensar nessa questão vamos desenhar um pouco para nos ajudar a entender o que precisamos fazer

Agora, veja que queremos A M → , mas podemos escrever A M → como:

A M →   =   A B → + B C → + C M →

Veja que nosso objetivo nessa questão, portanto, é escrever esses vetores de cima em função de B = A D → , A B → , v →

Bora lá?

Passo 2

Primeiro, como A M →   =   A B → + B C → + C M → , o primeiro vetor da soma já ta em função dos vetores de B, pois é um vetor de B, agora bora escrever B C →   e   C M → .

Primeiro, temos que A E → = A B → cos ⁡ π 3 = 1 1 2 = 1 2

Além disso, temos que A E → =   F D → = 1 2

Ou seja, temos   A D → = A E → + E F → + F D → → 6 = 1 + E F → ∴   E F → = 5

E pela figura podemos escrever   B C → =   E F → , mas como E F → = 5 , temos que:

E F → = 5 6 A D → =   B C →

Ou seja, conseguimos escrever B C → em função de vetores de B, agora falta só C M →

Passo 3

Bora achar C M → em função dos caras de B:

Para isso, basta notar que C M → = 2 3 C D →

E temos C D → =   C B → + B A → + A D → =   - B C → - A B → + A D = - 5 6 A D → - A B → + A D → = 1 6 A D → - A B →

Ou seja, temos:

C M → = 2 3 1 6 A D → - A B →

Agora bora unir tudo isso na equação inicial...

A M →   =   A B → + B C → + C M → = A B → + 5 6 A D → + 2 3 1 6 A D → - A B →

= A B → + 5 6 A D → + 2 18 A D → - 2 3 A B →    

= 1 3 A B → + 17 18 A D → + 0 v →

Ou seja, em termos da base B, dizemos que A M → = ( 17 18 , 1 3 , 0 ) , finalmente chegando na resposta

Resposta

Letra A

Exercícios de Livros Relacionados

Sejam A = ( 1 ,6 ,4 ) , B = ( 2 ,- 1 ,9 ) , C = ( 1 ,1 ,- 1 ) e D = ( 1 ,1 ,a ) . Para que valores de a esses pontos são vértices de um quadrilátero? Este quadrilátero é plano ou reverso?
Sejam os vetores v 1 = 1,0 , - 1 ,v 2 = 1,2 , 1 ev 3 = ( 0 , - 1,0 ) do I R 3 .Mostrar que B = v 1 ,v 2 , v 3 é base do I R 3 . Escrever e 1 = 1,0 , 0 ,e 2 = 0,1 , 0 ,e 3 = ( 0,0 , 1 ) como combinação
Seja A = { 3,2 x ,- x 2 } uma base de P 2 . Determinar o vetor-coordenada de v = 6 - 4 x + 3 x 2 em relação à base A.
A figura dada mostra um sistema de coordenadas retangulares x y e um sistema de coordenadas x ' y ' com eixos oblíquos. Supondo que em todos os eixos foram utilizadas escalas de uma unidade, encontre
Encontre a norma de v → , um vetor unitário de mesma direção e sentido de v → e um vetor unitário de mesma direção e sentido oposto de v → . v → = ( - 5,12 ) v → = ( 1 ,- 1 ,2 ) v → = ( - 2 ,3 ,3 ,- 1