Seja β uma base de V 3 e considere a base C = u 1 , u 2 , u 3 de V 3 , em que

u 1 = 1,3 , - 2 β

u 2 = 2,7 , - 3 β

u 3 = - 2 , - 5,6 β

Se v = 2,1 , 2 β , então a soma das coordenadas de v em relação à base C vale

Passo 1

E aí? De boa pra mais uma? Hahahaha vamos lá!

Temos uma base do espaço V 3 :

C = 1,3 , - 2 β , 2,7 , - 3 β , - 2 , - 5,6 β

E aí temos um vetor que está escrito em outra base β :

v = 2,1 , 2 β

Nossa missão aqui vai ser escrever esse vetor na base C , ok?

O vetor v escrito na base C vai ser

v C = M β , C . v β

Onde M β , C é a matriz de mudança de base de β para C

Então vamos lá entender como podemos fazer esse cálculo

Ok, mas não temos essa matriz...Realmente, mas pelo menos temos a matriz de mudança de base de C para β . Colocando

Passo 2

Show, sabemos que

v C = M β , C . v β

E M β , C é a matriz de mudança de base de β para C

Ok, mas não temos essa matriz...Realmente, mas repara que ele deu a base C com os elementos escritos na base β :

C = 1,3 , - 2 β , 2,7 , - 3 β , - 2 , - 5,6 β

Cara, então a gente tem a matriz de mudança de base de C para β , ela vai ser

M C , β = 1 2 - 2 3 7 - 5 - 2 - 3 6

Então é só a gente inverter essa matriz para termos M β , C :P

Passo 3

Belezinha, então

M β , C = M C , β - 1

M β , C = 1 2 - 2 3 7 - 5 - 2 - 3 6 - 1

Para invertermos a matriz, vamos adicionar uma matriz identidade do lado dela. Aí vamos escalonar as duas até que a matriz da esquerda vire a matriz identidade. E aí a matriz da direita vai ser a nossa inversa, ok?

1 2 - 2 3 7 - 5 - 2 - 3 6 1 0 0 0 1 0 0 0 1

Vamos lá escalonar:

1 2 - 2 3 7 - 5 - 2 - 3 6 1 0 0 0 1 0 0 0 1 → L 2 → L 2 - 3 L 1 L 3 → L 3 + 2 L 1 1 2 - 2 0 1 1 0 1 2 1 0 0 - 3 1 0 2 0 1

1 2 - 2 0 1 1 0 1 2 1 0 0 - 3 1 0 2 0 1 → L 3 → L 3 - L 2 1 2 - 2 0 1 1 0 0 1 1 0 0 - 3 1 0 5 - 1 1

1 2 - 2 0 1 1 0 0 1 1 0 0 - 3 1 0 5 - 1 1 → L 2 → L 2 - L 3 1 2 - 2 0 1 0 0 0 1 1 0 0 - 8 2 - 1 5 - 1 1

1 2 - 2 0 1 0 0 0 1 1 0 0 - 8 2 - 1 5 - 1 1 → L 1 → L 1 - 2 L 2 L 1 → L 1 + 2 L 3 1 0 0 0 1 0 0 0 1 27 - 6 4 - 8 2 - 1 5 - 1 1

Opaaa! Então a matriz do lado esquerdo já virou a matriz identidade, portanto a nossa matriz inversa é

27 - 6 4 - 8 2 - 1 5 - 1 1

E essa é a matriz de mudança de base de β para C

Passo 4

Então agora podemos usar a fórmula:

v C = M β , C . v β

v C = 27 - 6 4 - 8 2 - 1 5 - 1 1 . 2 1 2

v C = 27 ∙ 2 - 6 ∙ 1 + 4 ∙ 2 - 8 ∙ 2 + 2 ∙ 1 - 1 ∙ 2 5 ∙ 2 - 1 ∙ 1 + 1 ∙ 2

v C = 56 - 16 11

Showww, então já encontramos as coordenadas de v na base C :D

Como o enunciado pediu a soma das coordenadas, fazemos:

56 - 16 + 11 = 51

Mandamos bem!!

Resposta

51

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