Em uma pirâmide regular tendo como base o quadrado A B C D e o vértice V , considere a sequência de vetores Γ = ( A B → ,   A D → ,   A V → ) e o ponto P , projeção ortogonal do vértice V na base da pirâmide.

a) Justifique por que Γ é uma base.

b) Determine as coordenadas do vetor P V → na base Γ .

Passo 1

a) Pra que 3 vetores formem uma base eles devem ser L.I. certo? Beleza, e pra 3 vetores serem L.I., eles não podem ser coplanares.

Como V é o vértice da pirâmide, ele não pode estar no mesmo plano da base, como a gente vê na imagem do enunciado. Assim, com certeza os vetores A B → ,   A D → e A V → não vão estar no mesmo plano, então eles são L.I. e Γ é uma base :D

Passo 2

b) Vamo lá, a gente sabe que P V → = P A → + A V → né?

Como P é o ponto médio de C A → , podemos escrever assim:

P V → = C A → 2 + A V →

P V → = ( C B → + B A → ) 2 + A V →

Como C B → é congruente a D A → e B A → = - A B → :

P V → = ( D A → - A B → ) 2 + A V →

P V → = ( - A D → - A B → ) 2 + A V →

Então:

P V → = - 1 2 A B → - 1 2 A D → + 1 A V →

Conseguimos escrever o vetor P V → em função dos vetores da base Γ :D

P V → = - 1 2 ,   - 1 2 ,   1 Γ

Resposta

P V → = - 1 2 ,   - 1 2 ,   1 Γ

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