Seja β = u ,   v ,   w uma base do R 3 . Mostre que se u ' ,   v ' ,   w ' ∈ R 3 são tais que

u ' β = 1 1 0 ,   v ' β = 0 1 1 ,   w ' β = 1 0 1 ,

então { u ' ,   v ' ,   w ' } é uma base de R 3 .

Passo 1

Para começar vamos separar nosso problema em hipótese e tese:

Hipóteses: β = u ,   v ,   w é uma base do R 3 e u ' β = 1 1 0 ,   v ' β = 0 1 1 ,   w ' β = 1 0 1 .

Tese: { u ' ,   v ' ,   w ' } é uma base de R 3 .

Passo 2

Se { u ' ,   v ' ,   w ' } é uma base de R 3 é a nossa tese, então o que queremos saber é se { u ' ,   v ' ,   w ' } é L I e que s p a n u ' ,   v ' ,   w ' = R 3 . Vamos provar primeiro que eles são L I , pois a segunda parte da nossa tese é uma consequência da primeira.

Para começar, vamos ajeitar a nossa hipótese:

u ' = 1 u + 1 v + 0 w v ' = 0 u + 1 v + 1 w w ' = 1 u + 0 v + 1 w

Passo 3

Agora vamos equacionar a nossa tese; mais especificamente, se { u ' ,   v ' ,   w ' } é L I :

a u ' + b v ' + c w ' = 0

Por hipótese, sabemos quem é u ' ,   v ' ,   w ' em função de u ,   v , w . Assim, ao aplicarmos nossa hipótese:

a u + v + b v + w + c u + w = 0 ⇒

a u + a v + b v + b w + c u + c w = 0 ⇒

a + c u + a + b v + b + c w = 0

Passo 4

Como sabemos que o conjunto u ,   v ,   w é uma base, ele é L I também, por definição. Assim, podemos igualar seus coeficientes a zero na equação acima:

a + c = 0 ⇒ a = - c a + b = 0 ⇒ - c + b = 0 ⇒ b = c b + c = 0 ⇒ b + b = 0 ⇒ 2 b = 0 ∴ b = 0

Assim, podemos ver que:

c = 0

a = 0

Portanto, nosso conjunto { u ' ,   v ' ,   w ' } é L I também.

Passo 5

Agora falta provar que s p a n u ' ,   v ' ,   w ' = R 3 . Entretanto, como β = u ,   v ,   w é uma base do R 3 , sabemos que u , v , w ∈ R 3 . E como u ' ,   v ' ,   w ' pode ser escrito como uma C L de u , v , w , eles também pertencem ao R 3 . Assim, podemos concluir que { u ' ,   v ' ,   w ' } é um conjunto de vetores de 3 coordenadas, pertencem ao R 3 , e L I ; portanto, s p a n u ' ,   v ' ,   w ' = R 3 .

Observe que não basta falar que os vetores são simplesmente L I , porque não sabemos em que espaço se situam ( R 3 ,   R 4 , . . . ) Como os vetores são genéricos, não sabemos quantas coordenadas possuem, então poderiam ser 3 vetores L I do R 4 , que não gera o R 3 .

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

Exercícios de Livros Relacionados

Sejam A = ( 1 ,6 ,4 ) , B = ( 2 ,- 1 ,9 ) , C = ( 1 ,1 ,- 1 ) e D = ( 1 ,1 ,a ) . Para que valores de a esses pontos são vértices de um quadrilátero? Este quadrilátero é plano ou reverso?
Sejam os vetores v 1 = 1,0 , - 1 ,v 2 = 1,2 , 1 ev 3 = ( 0 , - 1,0 ) do I R 3 .Mostrar que B = v 1 ,v 2 , v 3 é base do I R 3 . Escrever e 1 = 1,0 , 0 ,e 2 = 0,1 , 0 ,e 3 = ( 0,0 , 1 ) como combinação
Seja A = { 3,2 x ,- x 2 } uma base de P 2 . Determinar o vetor-coordenada de v = 6 - 4 x + 3 x 2 em relação à base A.
A figura dada mostra um sistema de coordenadas retangulares x y e um sistema de coordenadas x ' y ' com eixos oblíquos. Supondo que em todos os eixos foram utilizadas escalas de uma unidade, encontre
Encontre a norma de v → , um vetor unitário de mesma direção e sentido de v → e um vetor unitário de mesma direção e sentido oposto de v → . v → = ( - 5,12 ) v → = ( 1 ,- 1 ,2 ) v → = ( - 2 ,3 ,3 ,- 1