Seja β uma base de V 3 e considere a base C = e 1 , e 2 , e 3 de V 3 , em que

e 1 = 1,2 , 3 β

e 2 = - 1 , - 1 , - 2 β

e 3 = 2,3 , 6 β

Dado u = - 1,2 , - 2 β ∈ V 3 , as coordenadas de u em relação à base C são

a) 6,1 , - 3

b) 7,0 , - 4

c) 1,6 , 2

d) 3,4 , 0

e) 4,3 , - 1

f) 5,2 , - 2

g) 2,5 , 1

Passo 1

Oii gente, vamos lá arrasar!

Temos duas bases: β e C , sendo que:

C = 1,2 , 3 β , - 1 , - 1 , - 2 β , 2,3 , 6 β

E aí temos um vetor escrito na base β : u = - 1,2 , - 2 β e queremos escrever ele na base C , ou seja, queremos encontrar u C

Para isso, vamos usar o que sabemos de matrizes de mudança de base

u C = M β , C ∙ u β

Onde M β , C é a matriz de mudança de base de β para C

Ta... mas não temos essa matriz! Realmente não, mas temos a matriz de mudança de base de C para β , porque os elementos de C estão escritos na base β . Então, colocando esses elementos nas colunas de uma matriz, temos

M C , β = 1 - 1 2 2 - 1 3 3 - 2 6

E aí é só inverter essa matriz para encontrarmos M β , C , vamos!

Passo 2

A matriz de mudança de base de C para β é

M C , β = 1 - 1 2 2 - 1 3 3 - 2 6

Mas como queremos a matriz de mudança de base de β para C , vamos inverter essa matriz:

M β , C = 1 - 1 2 2 - 1 3 3 - 2 6 - 1

1 - 1 2 2 - 1 3 3 - 2 6 1 0 0 0 1 0 0 0 1

Vamos lá fazer as operações para que a matriz da esquerda vire a matriz identidade:

1 - 1 2 2 - 1 3 3 - 2 6 1 0 0 0 1 0 0 0 1 → L 2 → L 2 - 2 L 1 L 3 → L 3 - 3 L 1 1 - 1 2 0 1 - 1 0 1 0 1 0 0 - 2 1 0 - 3 0 1

1 - 1 2 0 1 - 1 0 1 0 1 0 0 - 2 1 0 - 3 0 1 → L 2 ⇔ L 3 1 - 1 2 0 1 0 0 1 - 1 1 0 0 - 3 0 1 - 2 1 0

1 - 1 2 0 1 0 0 1 - 1 1 0 0 - 3 0 1 - 2 1 0 → L 1 → L 1 + L 2 L 3 → L 3 - L 2 1 0 2 0 1 0 0 0 - 1 - 2 0 1 - 3 0 1 1 1 - 1

E por fim:

1 0 2 0 1 0 0 0 - 1 - 2 0 1 - 3 0 1 1 1 - 1 → L 3 → - L 3 L 1 → L 1 - 2 L 3 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 2 - 1 - 3 0 1 - 1 - 1 1

Showw, então essa é a nossa matriz inversa:

M β , C = 0 2 - 1 - 3 0 1 - 1 - 1 1

Passo 3

Agora que temos a matriz inversa, é só aplicarmos na fórmula:

u C = M β , C ∙ u β

u C = 0 2 - 1 - 3 0 1 - 1 - 1 1 . - 1 2 - 2

Multiplicando as matrizes:

u C = 4 + 2 3 - 2 1 - 2 - 2 = 6 1 - 3

Ebaaa, então a alternativa correta é a) 6,1 , - 3

Resposta

a) 6,1 , - 3

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