Considere P 2 o espaço vetorial dos polinômios com coeficientes reais e de grau até 2 e seja β = { 1,1 + x , 1 + x + x 2 } uma base de P 2 .

  1. Seja q x = 3 - 2 x + 5 x 2 .   Determine q x β .
  2. Seja t ( x ) tal que t x β = 1 1 1 .   Determine t x .
  3. Decida se a afirmação abaixo é verdadeira ou falsa. Se a afirmação for verdadeira, apresente uma demonstração. Se a afirmação for falsa, exiba explicitamente um contraexemplo.

Se p x = a x + b x 2 , então p x β = 0 a b

Passo 1

a)

Vamos escrever o polinômio q x = 3 - x + 5 x 2 na base { 1,1 + x , 1 + x + x 2 } . Para isso, precisamos achar os coeficientes que satisfazem:

3 - 2 x + 5 x 2 = a 1 + b 1 + x + c ( 1 + x + x 2 )

3 - 2 x + 5 x 2 = x 2 ( c ) + x b + c + ( a + b + c )

a + b + c = 3 b + c = - 2 c = 5

Tenho, então, que c = 5 ,   b = - 7 ,   a = 5

Assim, q x β = 5 - 7 5 .

Passo 2

b)

Agora vamos fazer o caminho contrário, temos os coeficiente e vamos achar o polinômio:

t x = 1 1 + 1 1 + x + 1 1 + x + x 2 = 3 + 2 x + x 2

Passo 3

c)

Para escrever p x = a x + b x 2   na base β = { 1,1 + x , 1 + x + x 2 } , fazemos:

a x + b x 2 = c 1 1 + c 2 1 + x + c 3 ( 1 + x + x 2 )

a x + b x 2 = x 2 c 3 + x c 2 + c 3 + ( c 1 + c 2 + c 3 )

Assim, b = c 3 ,   a = c 2 + c 3 e 0 = c 1 + c 2 + c 3 . Dessa forma, substituindo, achamos que:

c 1 = - a

c 2 = a - b

c 3 = b

Assim, se p x = a x + b x 2 ,   p x β = - a a - b b .

Como pediram um contraexemplo, vou pegar valores aleatórios para a e b : a = 1 e b = 1

p x β = - 1 0 1 ≠ 0 1 1 = 0 a b

Resposta

a) q x β = 5 - 7 5

b)   3 + 2 x + x 2

c)   F a l s a

Exercícios de Livros Relacionados

Sejam A = ( 1 ,6 ,4 ) , B = ( 2 ,- 1 ,9 ) , C = ( 1 ,1 ,- 1 ) e D = ( 1 ,1 ,a ) . Para que valores de a esses pontos são vértices de um quadrilátero? Este quadrilátero é plano ou reverso?
Sejam os vetores v 1 = 1,0 , - 1 ,v 2 = 1,2 , 1 ev 3 = ( 0 , - 1,0 ) do I R 3 .Mostrar que B = v 1 ,v 2 , v 3 é base do I R 3 . Escrever e 1 = 1,0 , 0 ,e 2 = 0,1 , 0 ,e 3 = ( 0,0 , 1 ) como combinação
Seja A = { 3,2 x ,- x 2 } uma base de P 2 . Determinar o vetor-coordenada de v = 6 - 4 x + 3 x 2 em relação à base A.
A figura dada mostra um sistema de coordenadas retangulares x y e um sistema de coordenadas x ' y ' com eixos oblíquos. Supondo que em todos os eixos foram utilizadas escalas de uma unidade, encontre
Encontre a norma de v → , um vetor unitário de mesma direção e sentido de v → e um vetor unitário de mesma direção e sentido oposto de v → . v → = ( - 5,12 ) v → = ( 1 ,- 1 ,2 ) v → = ( - 2 ,3 ,3 ,- 1