Enunciado

Considere o ponto P = ( 2,4 , 8 ) , o plano

π : x + y + z + 2 = 0

E a reta

r : X = P + λ 2,1 , 1 ,     λ ∈ R

Se Q ≠ P é o ponto de r tal que d P , π = d ( Q , π ) , então a soma das coordenadas de   Q é igual a:

a )   15 ;

b ) - 18 ;

c )   22 ;

d ) - 2 ;

e )   14 .

Passo 1

Falaaa, beleza?? Bora lá para mais um probleminha dessa prova. Para entendermos o que vamos fazer bora notar que temos π e P , ou seja, conseguimos achar d P , π , depois disso podemos igualar a d ( Q , π ) e usar a informação que Q ∈ r , nossa ideia é essa, bora aplicar.

Como foi dito, bora achar d P , π , lembra como fazemos isso?

Para isso, vamos lembrar que se temos um plano do tipo:

a x + b y + c z = d

E um ponto P = ( x o , y 0 , z 0 ) podemos calcular a distância desse ponto ao plano pela seguinte relação:

d P , π = a x o + b y 0 + c z 0 - d a 2 + b 2 + c 2

Aplicando isso para o ponto e plano da questão:

d P , π =   2 + 4 + 8 + 2 3 = 16 3

Passo 2

E agora temos que:

d Q , π = 16 3

Podemos só aplicar a fórmula igual anteriormente, porém teríamos 3 variáveis, se pensarmos em Q = ( a , b , c ) , porém conseguimos usar o fato que Q ∈ r .

Primeiro, vamos notar que r : X = 2,4 , 8 + λ 2,1 , 1

Como   Q ∈ r , temos que Q = ( 2 + 2 λ c , 4 + λ c , 8 + λ c )

Agora se aplicarmos na fórmula já passada dará certo, pois teremos apenas λ c variável.

Passo 3

Tomando π : x + y + z = - 2 e Q = ( 2 + 2 λ c , 4 + λ c , 8 + λ c ) , temos que:

d Q , π = 2 + 2 λ c + 4 + λ c + 8 + λ c + 2 3 = 16 + 4 λ c 3

Mas como foi dito d Q , π = 16 3 , por isso:

16 + 4 λ c 3 = 16 3

Por isso temos que:

16 + 4 λ c = 16

Ou seja:

16 + 4 λ c = 16 16 + 4 λ = - 16

Veja que a primeira equação resulta em λ c = 0 , porém nesse caso teríamos Q = P , o que não pode, ou seja:

16 + 4 λ = - 16   → λ c =   - 32 4 = - 8

Por isso:

Q = ( - 14 , - 4,0 )

E, portanto, a soma será - 18 , fazendo a gente chegar ao fim de outro probleminha, bora para o próximo?

Resposta

Letra B

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