Seja V um espaço vetorial de dimensão n . Considere as seguintes afirmações:

I   Se F = v 1 , … , v k é um subconjunto linearmente independente de V , então podemos encontrar G = w 1 , … , w n - k em V , tal que F ∪ G é linearmente independente.

I I Todo subconjunto de V com mais do que n vetores é gerador de V .

Qual das opções abaixo é CORRETA?

( a ) A afirmativa I é falsa e I I é verdadeira.

( b ) A afirmativa I é falsa e I I é falsa.

( c ) A afirmativa I é verdadeira e I I é verdadeira.

( d ) A afirmativa I é verdadeira e I I é falsa.

Passo 1

Vamos analisar a I

Se F tem k elementos L I , então ele tem dimensão k .

Para que F ∪ G ser linearmente independente, F e G precisam ser linearmente independentes individualmente e entre si. Sendo assim, vamos assumir que G é L I também.

Se G tem n - k elementos L I , então ele tem dimensão n - k .

Se F ∪ G fosse de fato L I , então ele teria dimensão k + n - k = n que é a mesma dimensão de V . E isso é perfeitamente possível. Nesse caso F ∪ G seria uma base de V .

Passo 2

Agora a I I

Opa, essa já não é tão verdade né. Vamos definir um subconjunto W de V da seguinte forma:

W = v , 2 v , 3 v , 4 v , … , n v , n + 1 v

Onde v ∈ V .

Dessa forma nosso conjunto tem n + 1 vetores no entanto ele gera um espaço de dimensão 1 apenas!!! Isso porque todos os vetores são múltiplos de v e portanto geram o mesmo espaço.

Resposta

Letra ( d )

Exercícios de Livros Relacionados

Sejam A = ( 1 ,6 ,4 ) , B = ( 2 ,- 1 ,9 ) , C = ( 1 ,1 ,- 1 ) e D = ( 1 ,1 ,a ) . Para que valores de a esses pontos são vértices de um quadrilátero? Este quadrilátero é plano ou reverso?
Sejam os vetores v 1 = 1,0 , - 1 ,v 2 = 1,2 , 1 ev 3 = ( 0 , - 1,0 ) do I R 3 .Mostrar que B = v 1 ,v 2 , v 3 é base do I R 3 . Escrever e 1 = 1,0 , 0 ,e 2 = 0,1 , 0 ,e 3 = ( 0,0 , 1 ) como combinação
Seja A = { 3,2 x ,- x 2 } uma base de P 2 . Determinar o vetor-coordenada de v = 6 - 4 x + 3 x 2 em relação à base A.
A figura dada mostra um sistema de coordenadas retangulares x y e um sistema de coordenadas x ' y ' com eixos oblíquos. Supondo que em todos os eixos foram utilizadas escalas de uma unidade, encontre
Encontre a norma de v → , um vetor unitário de mesma direção e sentido de v → e um vetor unitário de mesma direção e sentido oposto de v → . v → = ( - 5,12 ) v → = ( 1 ,- 1 ,2 ) v → = ( - 2 ,3 ,3 ,- 1