Considere um sistema de coordenadas ∑ = ( O , ε ) em E 3 , em que ε é uma base ortonormal de V 3 , e sejam r e s as retas dadas pelas equações:

r   :   x = 1 - λ , y = 2 λ , z = 0 ,       λ ∈ R e s   : X = 2,1 , 1 + λ 0 ,   3 ,   - 1 ,   λ ∈ R

no sistema de coordenadas ∑ . Seja t a reta que passa pelo ponto 1,0 , 1 ∑ e que intersecta as retas r e s . Se a , b , c ∑ for o ponto na intersecção de t e s , então a - b + c será igual a:

a) 5 ;

b) 4 ;

c) 2 ;

d) 3 ;

e) 6 .

Passo 1

E aí pessoal, tudo na paz?

Nessa questão temos um sistema de coordenadas dado por ∑ = ( O , ε ) em E 3 . Embora soe um pouco estranho, esse sistema é o mesmo que estamos acostumados a usar. No nosso caso, O é justamente a origem de E 3 .

É falado que existem duas retas: r e s . Dadas por:

r   :   x = 1 - λ , y = 2 λ , z = 0 ,       λ ∈ R e s   : X = 2,1 , 1 + λ 0 ,   3 ,   - 1 ,   λ ∈ R

E, que há uma reta t , que intersecta r e s , e que passa pelo ponto 1,0 , 1 ∑ .

Precisamos encontrar a intersecção da reta t com s , para a partir daí fazer a seguinte operação com suas coordenadas:

a , b , c → a - b + c

Essa será a resposta do exercício.

A sacada para resolver essa questão é usar o vetor diretor da reta t .

Para encontrar o vetor diretor de uma reta basta utilizarmos que ele é determinado pela subtração de dois pontos da reta.

Assim, sobre t “conhecemos” três pontos que pertence a ela. O ponto em comum com r , o ponto 1,0 , 1 ∑ e o ponto em comum com s .

Então show, vamos usar essas informações para encontrar a resposta.

Passo 2

A reta r é dada por:

r   :   x = 1 - λ , y = 2 λ , z = 0 ,      

Assim, o ponto P que pertence a r e a t é dado por:

P = 1 - λ ,   2 λ ,   0 ∑

Logo, o vetor diretor da reta t é dado por:

1,0 , 1 ∑ - 1 - λ ,   2 λ ,   0 ∑

E, como falamos antes, o sistema de coordenadas é o que estamos acostumados a usar. Assim, o vetor diretor v → da reta pode ser dado por:

v → = ( λ ,   - 2 λ ,   1 )

Muito bom!

Já para a reta s , temos:

s   : X = 2,1 , 1 + λ 0 ,   3 ,   - 1 ,   λ ∈ R

Assim, o ponto Q que pertence a s e a t é dado por:

Q = ( 2 ,   1 + 3 λ ,   1 - λ )

Para não confundir com o λ que usamos em v → , vamos trocá-lo por μ . Assim:

Q = 2 ,   1 + 3 μ ,   1 - μ ∑

Sabendo disso, podemos novamente determinar o vetor diretor da reta:

v → = 2 ,   1 + 3 μ ,   1 - μ ∑ - 1,0 , 1 ∑

= ( 1 ,   1 + 3 μ ,   - μ )

Excelente!

Passo 3

Agora que já temos duas expressões diferentes para o vetor diretor de t , podemos igualar:

λ ,   - 2 λ ,   1 = 1 ,   1 + 3 μ ,   - μ

O que nos dá o seguinte sistema:

λ = 1 - 2 λ = 1 + 3 μ 1 =   - μ

Da 1 ° e 3 ° equação, temos:

λ = 1 μ = - 1

Assim,

Q = 2 ,   1 + 3 - 1 ,   1 - - 1

= 2 ,   - 2 ,   2

Esse é o ponto de intersecção entre t   e s . Assim, fazendo:

a , b , c = 2 , - 2,2

Aplicando a operação que o enunciado pediu encontraremos nossa resposta:

a - b + c = 2 - - 2 + 2

= 6

O que nos dá letra e).

Uhuuuul! Matamos mais uma questão.

Vocês curtiram a solução? Responde Aí!

Resposta

Letra e).

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