Seja β uma base ortonormal de V 3 e considere os vetores u = - 1 , - 1,1 e x = ( 2,2 , 1 ) . Sejam x 1 , x 2 ∈ V 3 tais que x = x 1 + x 2 , com x 1 paralelo a u e x 2 ortogonal a u . Se x 2 = ( a , b , c ) , então a + b + c é igual a

Passo 1

Faaaala pessoal! Bora lá pra mais um exercício?

Olha só, sabemos que existe um vetor x = 2,2 , 1 que pode ser escrito assim:

x = 2,2 , 1 = x 1 + x 2

Sendo que x 1 = ( d , e , f ) é paralelo a - 1 , - 1,1 e x 2 = ( a , b , c ) é ortogonal a - 1 , - 1,1

E aí queremos encontrar as coordenadas de x 2 , ou seja, os valores de a , b , c

Bom pessoal, precisamos lembrar de duas coisas principais:

- Se x 1 = d , e , f é paralelo a - 1 , - 1,1 , então existe um α tal que

d , e , f = α . ( - 1 , - 1,1 )

- Se x 2 = a , b , c é ortogonal a - 1 , - 1,1 , então

a , b , c . - 1 , - 1,1 = 0

Então vamos lá aplicar isso!!

Passo 2

Como x 1 é paralelo a u , então existe algum valor real α tal que

d , e , f = α . ( - 1 , - 1,1 )

d , e , f = - α , - α , α

Igualando as coordenadas:

- α = d - α = e α = f

Então, temos que

d = e = - f

Portanto, o vetor x 1 pode ser escrito assim:

x 1 = d , e , f = d , d , - d

Passo 3

Também sabemos que x 2 = a , b , c é ortogonal a - 1 , - 1,1 , então

a , b , c . - 1 , - 1,1 = 0

- a - b + c = 0

c = a + b

Então, o vetor x 2 pode ser escrito assim

x 2 = a , b , c = a , b , a + b

Belezaaa, agora vamos usar a informação de que x = x 1 + x 2

Passo 4

Temos que

x = x 1 + x 2

x = d , d , - d + a , b , a + b

Então:

a + d , b + d , a + b - d = 2,2 , 1

Igualando as coordenadas:

a + d = 2 b + d = 2 a + b - d = 1

Subtraindo as duas primeiras equações:

a + d - b - d = 2 - 2

a - b = 0

a = b

Showw, então substituindo isso nas equações 2 e 3:

b + d = 2 2 b - d = 1

Somando as duas equações:

3 b = 3

b = 1

Como a = b , temos que a = 1 também

E como c = a + b , temos

c = 1 + 1 = 2

Logo, as coordenadas do vetor x 2 são 1 ,   1 ,   2 , e então

a + b + c = 1 + 1 + 2 = 4

Sucesso!

Resposta

a + b + c = 4

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