Considere os vetores de R 3 cujas coordenadas na base canônica são

v 1 = 1 ,   2 ,   1 ,                       v 2 = 1 ,   - 1 ,   2 ,                           v 3 = ( 0 ,   3 ,   - 1 )

E o subespaço vetorial W de R 3 gerado por estes vetores.

d) Considere os vetores u e v 4 cujas coordenadas na base canônica são

u = 4 ,   3 ,   1                                   v 4 = ( a ,   b ,   c )

Determine a ,   b ,   c para que

α = { v 1 , v 2 , v 4 }

Seja uma base de R 3 tal que as coordenadas do vetor u na base α sejam

u α = 2 ,   1 ,   1

Passo 1

d) Beleza, temos o vetor u = 4 ,   3 ,   1 e queremos que suas coordenadas na base α sejam ( 2 ,   1 ,   1 ) .

Isso quer dizer que

u = 2 v 1 + 1 v 2 + 1 v 4

4 ,   3 ,   1 = 2 . 1 ,   2 ,   1 + 1 . 1 ,   - 1 ,   2 + 1 . ( a ,   b ,   c )

Multiplicando os vetores pelos seus coeficientes:

4 ,   3 ,   1 = 2 ,   4 ,   2 + 1 ,   - 1 ,   2 + ( a ,   b ,   c )

Somando os vetores:

4 ,   3 ,   1 = ( 3 + a ,   3 + b ,   4 + c )

Igualando as coordenadas, temos o sistema:

a + 3 = 4 3 + b = 3 4 + c = 1

Passo 2

Do sistema encontrado, temos:

a = 1

b = 0

c = - 3

Logo, temos v 4 = a ,   b ,   c = ( 1 ,   0 ,   - 3 ) .

Resposta

d) a = 1

b = 0

c = - 3

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