Considere um sistema de coordenadas ∑ = ( O , ε ) em E 3 , em que ε é uma base ortonormal de V 3 . Sejam a , b ∈ R e considere os planos dados pelas equações

π 1 : x - 2 y + z = 3 ,           π 2   : 2 x - 3 y - 3 z = b           e         π 3   :   - x + 5 y + a z = 2

no sistema de coordenadas . Se π 1 ∩ π 2 ∩ π 3 for uma reta, então poderemos afirmar que:

a) a ∈ - 18 ,   - 17     e     b ∈ 8,9 ;

b) a ∈ [ - 18 , - 15 ] e b ∈ 6,7 ;

c) a ∈ - 1 9 , - 1 8 e b ∈ 8 , 9 ;

d) a ∈ - 18 , - 1 7 e b ∈ 7,8 ;

e) a ∈ [ - 18 , - 15 ] e b ∈ 7 , 8 ;

Passo 1

Faaaaaala pessoal, tudo tranquiloo?

Nessa questão temos um sistema de coordenadas dado por ∑ = ( O , ε ) em E 3 . Embora soe um pouco estranho, esse sistema é o mesmo que estamos acostumados a usar. No nosso caso, O é justamente a origem de E 3 .

É falado também que existem três planos dados pelas equações:

π 1 : x - 2 y + z = 3 ,           π 2   : 2 x - 3 y - 3 z = b           e         π 3   :   - x + 5 y + a z = 2

No meio dessas equações tem dois parâmetros que não sabemos os valores: a e b .

O enunciado nos pede para determinar um intervalo para a e b sabendo que a intersecção dos três planos é uma reta.

Para encontrar a equação da intersecção de π 1 ∩ π 2 ∩ π 3 , precisamos montar o sistema:

x - 2 y + z = 3 2 x - 3 y - 3 z = b   - x + 5 y + a z = 2

E, a solução desse sistema precisa ser uma reta.

Se a solução é uma reta, significa que o sistema possui infinitas soluções.

Pronto, é a partir disso que vamos atacar o nosso problema. Vamos descobrir o intervalo de valores de a e b , de modo que o sistema acima possua infinitas soluções.

Passo 2

Bom, para que tenha infinitas soluções, precisamos que pelo teorema de cramer, o determinante da matriz completa(substituída) e incompleta(coeficientes) sejam nulos.

Assim, pela matriz dos coeficientes do sistema:

1 - 2 1 2 - 3 - 3 - 1 5 a = 0

⇒ - 3 a - 6 + 10 - 3 - 15 - 4 a = 0

a + 4 + 12 = 0

∴ a =   - 16

Ou seja:

a ∈ [ - 18 ,   - 15 ]

Perfeito!

Além disso, o determinante da matriz completa (substituída) também precisa ser nulo.

Logo, substituído a 3 ° coluna da matriz dos coeficientes, vem:

1 - 2 3 2 - 3 b - 1 5 2 = 0

- 6 + 2 b + 30 - 9 + 5 b - 8 = 0

- 3 b + 23 = 0

∴ b =   23 3

Ou seja:

b ∈ [ 7,8 ]

Sendo assim, concluímos que a resposta é a letra e).

Terminamosss! Até a próxima gente 😊

Resposta

Letra e).

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