Considere fixada uma orientação em V 3 , e seja ε uma base ortonormal positiva de V 3 . Seja v = 1,1 , - 1 ε . A soma das coordenadas, em relação à base ε , do vetor x que satisfaz

- x . v = 5

- x × v = ( - 18,11 , - 7 ) é igual a

Passo 1

E aíí galera, vamos lá pra mais um exercício?

Temos um vetor x que é uma incógnita:

x = a , b , c

Massss, sabemos duas coisas sobre ele:

- O produto escalar a , b , c . ( 1,1 , - 1 ) vale 5

- O produto vetorial a , b , c × ( 1,1 , - 1 ) vale - 18,11 , - 7

Então a partir dessas duas informações, vamos encontrar as coordenadas do vetor x para então podermos calcular a soma a + b + c , fechou??

Passo 2

Vamos começar pelo produto escalar:

a , b , c . 1,1 , - 1 = 5

a + b - c = 5

Showw, então já temos alguma informação ali sobre as coordenadas hahahaha agora vamos ver sobre o produto vetorial

Passo 3

Para o produto vetorial, temos que

a , b , c × 1,1 , - 1 = - 18,11 , - 7

Então vamos montar a matriz desse produto:

i ^ j ^ k ^ a b c 1 1 - 1 = - 18 i ^ + 11 j ^ - 7 k ^

Calculando o determinante da matriz:

i ^ j ^ k ^ a b c 1 1 - 1 i ^ j ^ a b 1 1 = - 18 i ^ + 11 j ^ - 7 k ^

- b . i ^ + c . j ^ + a . k ^ - b . k ^ - c . i ^ + a . j ^ = - 18 i ^ + 11 j ^ - 7 k ^

Juntando os termos em comum:

i ^ . - b - c + j ^ . c + a + k ^ . a - b = - 18 i ^ + 11 j ^ - 7 k ^

Então agora é só igualar as coordenadas que multiplicam cada termo :D

Passo 4

Igualando os coeficientes de cada termo, vamos ficar com esse sistema:

Temos

- c - b = - 18 a + c = 11 a - b = - 7

Se tentarmos resolver esse sistema do jeito que ele está, vamos encontrar infinitas soluções ☹ mas podemos ficar tranquilos, porque temos uma informação a mais que vai nos ajudar: a equação do passo 2.

Então vamos pensar: na segunda equação, temos que c = 11 - a . Da terceira equação, temos que b = a + 7

Então vamos substituir isso lááá na equação do passo 2:

a + b - c = 5

a + ( a + 7 ) - ( 11 - a ) = 5

a + a + 7 - 11 + a = 5

3 a = 9

Então:

a = 3

Portanto

c = 11 - a = 11 - 3 = 8

b = a + 7 = 3 + 7 = 10

Passo 5

Showww! Agora que já temos as coordenadas do vetor x , é só somar para termos a resposta:

a + b + c = 3 + 10 + 8 = 21

Mandamos bem demais!!

Resposta

21

Exercícios de Livros Relacionados

Sejam A = ( 1 ,6 ,4 ) , B = ( 2 ,- 1 ,9 ) , C = ( 1 ,1 ,- 1 ) e D = ( 1 ,1 ,a ) . Para que valores de a esses pontos são vértices de um quadrilátero? Este quadrilátero é plano ou reverso?
Sejam os vetores v 1 = 1,0 , - 1 ,v 2 = 1,2 , 1 ev 3 = ( 0 , - 1,0 ) do I R 3 .Mostrar que B = v 1 ,v 2 , v 3 é base do I R 3 . Escrever e 1 = 1,0 , 0 ,e 2 = 0,1 , 0 ,e 3 = ( 0,0 , 1 ) como combinação
Seja A = { 3,2 x ,- x 2 } uma base de P 2 . Determinar o vetor-coordenada de v = 6 - 4 x + 3 x 2 em relação à base A.
A figura dada mostra um sistema de coordenadas retangulares x y e um sistema de coordenadas x ' y ' com eixos oblíquos. Supondo que em todos os eixos foram utilizadas escalas de uma unidade, encontre
Encontre a norma de v → , um vetor unitário de mesma direção e sentido de v → e um vetor unitário de mesma direção e sentido oposto de v → . v → = ( - 5,12 ) v → = ( 1 ,- 1 ,2 ) v → = ( - 2 ,3 ,3 ,- 1