Seja β = { 1,3 , 3,1 } . Considere as afirmações.

(I) Existe um vetor não nulo v →   ∈   R 2 tal que suas coordenadas na base canônica são o quádruplo de suas coordenadas na base β .

(II) Existe um vetor não nulo v →   ∈   R 2 tal que suas coordenadas na base canônica são o triplo de suas coordenadas na base β .

(a) (I) é falsa e (II) é falsa.

(b) (I) é falsa e (II) é verdadeira.

(c) (I) é verdadeira e (II) é falsa.

(d) (I) é falsa e (II) é verdadeira.

Passo 1

(I) Vamos considerar o vetor v → de coordenadas ( 1 4 , 1 4 ) na base   β .

Pra passar esse vetor pra base canônica, é só aplicar essas coordenadas, em ordem, nos vetores da base β .

Então na base canônica as coordenadas desse vetor v → são:

1 4 1,3 + 1 4 3,1 = 1 4 + 3 4 , 3 4 + 1 4 = ( 1,1 )

E 1,1 = 4 ( 1 4 , 1 4 ) , ou seja, as coordenadas do vetor v → na base canônica são o quádruplo de suas coordenadas na base β .

A afirmação (I) é verdadeira.

Passo 2

(II) Vamos supor que exista um vetor v → de coordenadas x , y na base β tal que suas coordenadas na base canônica sejam 3 x , 3 y .

Vamos ver se isso é possível passando ( x , y ) da base β para a canônica:

x 1,3 + y 3,1 = x + 3 y , 3 x + y

Então queremos que:

x + 3 y = 3 x 3 x + y = 3 y

Da primeira equação, tiramos que 2 x = 3 y , e da segunda, que 3 x = 2 y .

A única forma de essas duas coisas serem verdade ao mesmo tempo é se x , y = ( 0,0 ) .

Então o único vetor que satisfaz a condição da afirmação (II) é o vetor nulo, e ela diz que existe outro vetor que não é ele.

Por isso, ela é falsa.

Resposta

(c) (I) é verdadeira e (II) é falsa.

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