Defina a base β = 1 ,   0 ,   1 ,   0 ,   1 ,   1 ,   1 ,   1 ,   0 do R 3 . Se as coordenadas do vetor ( 9 ,   13 ,   2 ) na base β são 9 ,   13 ,   2 β = x ,   y ,   z T , então o valor de z é:

a) 11

b) 9

c) 10

d) 13

e) Não sei.

Passo 1

Digamos que temos um vetor ( a ,   b ,   c ) e queremos saber suas coordenadas ( d ,   e ,   f ) na base β . Nesse caso, temos que escrever ( a ,   b ,   c ) como combinação linear dos vetores de β , onde os coeficientes são ( d ,   e ,   f ) , assim:

a ,   b ,   c = d . 1 ,   0 ,   1 + e . 0 ,   1 ,   1 + f . ( 1 ,   1 ,   0 )

Então, no caso, temos que escrever o vetor ( 9 ,   13 ,   2 ) como combinação linear dos vetores da base β , assim:

9 ,   13 ,   2 = x . 1 ,   0 ,   1 + y . 0 ,   1 ,   1 + z . ( 1 ,   1 ,   0 )

E aí, as coordenadas do vetor na base β vão ser ( x ,   y ,   z ) , valores que vamos encontrar hihi

Passo 2

Temos

9 ,   13 ,   2 = x . 1 ,   0 ,   1 + y . 0 ,   1 ,   1 + z . ( 1 ,   1 ,   0 )

9 ,   13 ,   2 = x ,   0 ,   x + 0 ,   y ,   y + ( z ,   z ,   0 )

Somando os vetores, temos:

9 ,   13 ,   2 = x + 0 + z   ,   0 + y + z   ,       x + y + 0

9 ,   13 ,   2 = x + z   , y + z   ,   x + y

Igualando as coordenadas, temos o sistema:

x + z = 9 y + z = 13 x + y = 2

Da primeira equação, temos x = 9 - z , substituindo na terceira equação, encontramos o sistema:

y + z = 13 9 - z + y = 2 → y - z = - 7

Somando as duas equações:

2 y = 6

y = 3

Substituindo na primeira equação:

3 + z = 13

z = 10

Ebaaa, então encontramos o nosso z , que é a terceira coordenada do vetor escrito na base β .

Logo, a alternativa correta é a letra c :)

Resposta

c) 10

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