Considere os vetores A B → , D G → e D E → no paralelepípedo da figura.

a) Justifique por que β = ( A B → ,   D G → ,   D E → ) é uma base.

b) Determine as coordenadas do vetor A C → na base β .

c) Determine as coordenadas do vetor D F → na base β .

Passo 1

a) A gente viu lá na teoria que no R 3 , pra 3 vetores serem paralelos, eles devem ser paralelos ao mesmo plano.

Nesse caso, embora A B → e D G → sejam ambos paralelos ao plano da face A B F E , o vetor D E → não é, logo, os 3 vetores não podem pertencer ao mesmo plano.

Então esses 3 vetores são L.I., e vimos que 3 vetores L.I. formam o que? Isso mesmoo, uma base :D

Passo 2

b) O que a gente tem que fazer aqui é escrever A C → como combinação linear dos vetores da base β . Sabemos que

A C → = A F → + F C →

Como A F → e D G → são congruentes assim como F C → e E D → , podemos escrever que

A C → = D G → + E D →

Estamos quase láá, agora você concorda que E D → , é a mesma coisa que - D E → ? Então

A C → = D G → - D E →

Aee, agora temos o vetor A C → escrito apenas em função de vetores da base β

A C → = 0 A B → + 1 D G → - 1 D E →

A C → = ( 0 ,   1 ,   - 1 ) β

Passo 3

c) Esse passo é parecido com o anterior, temos que

D F → = D E → + E F →

Só precisamos mudar esse E F → , já que ele não pertence à base β . Como E F → e A B → são congruentes:

D F → = D E → + A B →

D F → = 1 A B → + 0 D G → + 1 D E →

D F → = ( 1 ,   0 ,   1 ) β

Resposta

a) Demonstração.

b) A C → = ( 0 ,   1 ,   - 1 ) β

c) D F → = ( 1 ,   0 ,   1 ) β

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