Dentre os vetores v → abaixo, assinale aquele cuja soma das coordenadas na base β = { 1,2 , 2,3 } é mínima.

(a) v → = ( - 1,1 )

(b) v → = ( 6,7 )

(c) v → = ( 1,4 )

(d) v → = ( 2,5 )

Passo 1

A base β é uma base de R 2 . Isso significa que todo vetor de R 2   pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores dessa base, assim:

v → = a 1,2 + b ( 2,3 )

Os coeficientes a e b dessa combinação linear é o que a gente chama de coordenadas do vetor v → na base β .

Então, não vai ter jeito: vamos ter que achar os valores de a e b pra cada vetor das alternativas e ver qual tem a menor soma de a e b.

Pra adiantar, vamos expandir a soma anterior:

v → = a , 2 a + ( 2 b , 3 b )

v → = ( a + 2 b , 2 a + 3 b )

Passo 2

(a) v → = ( - 1,1 )

Vimos que:

v → = ( a + 2 b , 2 a + 3 b )

Substituindo:

( - 1,1 ) = ( a + 2 b , 2 a + 3 b )

Ficamos então com o sistema:

a + 2 b = - 1 2 a + 3 b = 1

Multiplicando a primeira equação por -2:

- 2 a - 4 b = 2 2 a + 3 b = 1

Somando as duas equações resultantes:

- b = 3 ⇒ b = - 3

Substituindo na primeira equação:

a + 2 b = - 1 ⇒ a + 2 - 3 = - 1 ⇒ a = 5

Então a soma das coordenadas nesse caso dá:

a + b = - 3 + 5 = 2

Passo 3

(b) v → = ( 6,7 )

v → = ( a + 2 b , 2 a + 3 b )

( 6,7 ) = ( a + 2 b , 2 a + 3 b )

Ficamos então com o sistema:

a + 2 b = 6 2 a + 3 b = 7

Multiplicando a primeira equação por -2:

- 2 a - 4 b = - 12 2 a + 3 b = 7

Somando as duas equações resultantes:

- b = - 5 ⇒ b = 5

Substituindo esse valor na primeira equação:

a + 2 b = 6 ⇒ a + 2 5 = 6 ⇒ a = - 4

Então a soma das coordenadas dá:

a + b = 5 - 4 = 1

Passo 4

(c) v → = ( 1,4 )

v → = ( a + 2 b , 2 a + 3 b )

( 1,4 ) = ( a + 2 b , 2 a + 3 b )

Ficamos então com o sistema:

a + 2 b = 1 2 a + 3 b = 4

Multiplicando a primeira equação por -2:

- 2 a - 4 b = - 2 2 a + 3 b = 4

Somando as duas equações resultantes:

- b = 2 ⇒ b = - 2

Substituindo esse valor na primeira equação:

a + 2 b = 1 ⇒ a + 2 - 2 = 1 ⇒ a = 5

Então a soma das coordenadas dá:

a + b = 5 - 2 = 3

Passo 5

(d) v → = ( 2,5 )

Por último:

v → = ( a + 2 b , 2 a + 3 b )

( 2,5 ) = ( a + 2 b , 2 a + 3 b )

Ficamos então com o sistema:

a + 2 b = 2 2 a + 3 b = 5

Multiplicando a primeira equação por -2:

- 2 a - 4 b = - 4 2 a + 3 b = 5

Somando as duas equações resultantes:

- b = 1 ⇒ b = - 1

Substituindo esse valor na primeira equação:

a + 2 b = 2 ⇒ a + 2 - 1 = 2 ⇒ a = 4

Então a soma das coordenadas dá:

a + b = 4 - 1 = 3

Passo 6

A resposta então vai ser a letra (b), pois nela a soma das coordenadas deu 1, que foi o menor resultado dentre todos.

Resposta

(b) v → = ( 6,7 )

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