Seja A B C D A 1 B 1 C 1 D 1 um paralelepípedo reto, com bases os quadrados ( A B C D ) e A 1 B 1 C 1 D 1 , de aresta 1   c m , e arestas laterais A A 1 , B B 1 , C C 1 , D D 1   medindo 3   c m .

  1. Escreva os vetores D 1 B 1 → , A 1 C 1 → , C A 1 → como combinação linear dos vetores A B → , A D → e A A 1 → .
  2. Se a ,   b ,   c E são as coordenadas de C A 1 → na base E = { A B → ,   A D → ,   A A 1 → } , explique porque C A 1 → 2 ≠ a 2 + b 2 + c 2 . Em seguida, calcule (corretamente!) a norma do vetor C A 1 → .
  3. Calcule o produto misto ( D 1 B 1 → ,   A 1 C 1 → ,   C A 1 → ) .

Passo 1

  1. Bora lá! Vamos usar a regra do triângulo pra mexer nesses vetores aí! Depois de usar a regra do triângulo, a gente usa a figura pra relacionar os vetores que aparecem com os vetores que a gente quer.
  2. D 1 B 1 → = D 1 A 1 → + A 1 B 1 → = - A D → + A B → = A B → - A D →

    A 1 C 1 → = A 1 B 1 → + B 1 C 1 → = A B → + A D →

    C A 1 → = C A → + A A 1 → = C B → + B A → + A A 1 → = - A B → - A D → + A A 1 →

    Beleza, fechou!

    Passo 2

  3. Se liga! No item anterior, a gente achou:
  4. C A 1 → = - A B → - A D → + A A 1 →

    Então, na base E = { A B → ,   A D → ,   A A 1 → } ,

    C A 1 → = - 1 ,   - 1 ,   1 E

    Daqui, a gente encontra a 2 + b 2 + c 2 = 1 + 1 + 1 = 3 . Mas se a gente calcular a norma usando a definição, vamos encontrar:

    C A 1 → 2 = C A 1 → ⋅ C A 1 → = - A B → - A D → + A A 1 → ⋅ - A B → - A D → + A A 1 →

    C A 1 → 2 = A B → 2 + A D → 2 + A A 1 → 2 + 2 A B → ⋅ A D → - 2 A B → ⋅ A A 1 → - 2 A D → ⋅ A A 1 →

    Os três vetores são ortogonais, e então os produtos escalares vão ser todos zero. Sobre então os quadrados dos módulos, que a gente vai achar na figura!

    C A 1 → 2 = 1 2 + 1 2 + 3 2

    C A 1 → 2 = 11

    Ué, deu diferente... Que houve? É o seguinte: essa parada de u → ⋅ u → = u → 2 só serve para uma base ortonormal! Só que a nossa base não é ortonormal, já que A A 1 → = 3 , ela é só ortogonal! Essa fórmula aí nos dá na real a soma dos quadrados das coordenadas, que só vão ser a norma ao quadrado no caso de base ortonormal. Por isso a fórmula “em coordenadas” não funciona.

    Passo 3

  5. Nossa missão é calcular o produto misto ( D 1 B 1 → ,   A 1 C 1 → ,   C A 1 → ) . Bom, pra começar, vamos começar botando em função dos vetores que conhecemos. Presta atenção na figura pra cada passo!

P = D 1 B 1 → ,   A 1 C 1 → ,   C A 1 → = D B → ,   A C → ,   C A → + A A 1 →

P = A B → - A D → ,   A B → + A D → ,   - A B → - A D → + A A 1 →

Vamos chamar de u → =   A B → + A D → , pra facilitar pra gente perceber uma parada em seguida.

P = A B → - A D → ,   u → , - u → + A A 1 →

Isso pode ser separado em:

P = A B → - A D → ,   u → , - u → + A B → - A D → ,   u → , A A 1 →

A primeira parcela é nula, já que repete vetores! Vamos ficar só com a segunda parcela, então.

P = A B → - A D → ,   A B → + A D → , A A 1 →

Vamos desmembrar essa parada de novo!

P = A B → ,   A B → + A D → , A A 1 → - A D → ,   A B → + A D → , A A 1 →

P = A B → ,   A B → , A A 1 → + A B → ,   A D → , A A 1 → - A D → ,   A B → , A A 1 → - A D → ,   A D → , A A 1 →

P = A B → ,   A D → , A A 1 → - A D → ,   A B → , A A 1 →

Trocando a ordem dos termos, troca o sinal.

P = 2 A B → ,   A D → , A A 1 →

P = 2 A B → × A D → ⋅ A A 1 →

A B → e A D → são perpendiculares entre si, e, pela regra da mão direita, tem o mesmo sentido que A A 1 → . Como A B → × A B → = 1 ⋅ 1 = 1 , e como A A 1 → tem módulo 3 , e já que estão no mesmo sentido, o produto escalar é o produto dos módulos,

P = 2 1 3

P = 6

Resposta

  1. D 1 B 1 → = A B → - A D →

    A 1 C 1 → = A B → + A D →

    C A 1 → = - A B → - A D → + A A 1 →

  2. Essa expressão só vale para uma base ortonormal, mas essa é apenas ortogonal.
  3. D 1 B 1 → ,   A 1 C 1 → ,   C A 1 → = 6

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