Exercícios Resolvidos de Limite por Manipulação Algébrica para Funções de Várias Variáveis

George B. Thomas, Cálculo – Volume 2, 11ª ed. São Paulo: Pearson Education do Brasil, 2009, p. 305 – 19,20

Encontre os limites reescrevendo primeiro as frações.

lim x , y 2 ,   0 2 x - y 4 2 x - y - 2 2 x - y - 4

Passo 1

Vamos lá, temos a fração

2 x - y - 2 2 x - y - 4

Podemos ver que o numerador e o denominador são bem parecidos, inclusive que em cima temos

2 x - y   e   2

enquanto embaixo temos

2 x - y = 2 x - y 2   e   4 = 2 2

Tá com mó cara que vamos multiplicar pelo conjugado!

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Então vamos fazer isso mesmo! No numerador temos 2 termos, na forma a - b , então vamos multiplicar em cima e em baixo por a + b , no caso 2 x - y + 2 :

2 x - y - 2 2 x - y - 4 2 x - y + 2 2 x - y + 2

Assim, o numerador fica:

2 x - y 2 - 2 2 = 2 x - y - 4 ,

que é exatamente o denominador da nossa fração original! (Que surpresa!)

Passo 3

Então temos

2 x - y - 4 2 x - y - 4 2 x - y + 2

Sabendo que 2 x - y 4 2 x - y - 4 0 , isso dá:

1 2 x - y + 2

Passo 4

Calculando o limite:

lim x , y 2 ,   0 2 x - y 4 2 x - y - 2 2 x - y - 4 = lim x , y 2 ,   0 2 x - y 4 1 2 x - y + 2

= 1 4 + 2 = 1 4

Resposta

1 4

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