Enunciado

A amplitude de oscilação de um pêndulo simples sofre redução de 2 % entre oscilações consecutivas. Com comprimento de 1   m e massa M , qual o coeficiente de atrito do meio no qual o pêndulo oscila? (use g   =   π 2 m / s 2 )

Passo 1

A amplitude de movimento é dada por:

A x = A . e γ t 2

Se entre oscilações consecutivas ela cai 2 % , isso significa que em um período de oscilação ele cai 2 % então do instante t = 0   ao t = T acontece esse decaimento

A T . 0,98 = A 0

A . e γ T 2 . 0,98 = A . e γ 0 2

e γ T 2 . 0,98 = 1

e γ T 2 = 1 0,98 = 1,02

Assim, fazendo o logaritmo neperiano dos dois lados conseguimos descobrir o período dessa oscilação

ln ⁡ e γ T 2 = ln ⁡ 1,02

γ T 2 = 0,02

T = 0,04 γ

Passo 2

Descobrimos o período de oscilação do pêndulo, e com isso podemos relacionar com a massa e comprimento, certo??

Só lembrarmos que o período para um pêndulo simples pode ser dado por:

T = 2 π L g

Como vimos que o período vale

T = 0,04 γ = 2 π L g

Podemos isolar a constante γ e substituir os dados dado no enunciado ( L   e   g )

γ = 0,04 2 π . g L = 0,04 2 π . π 2 1

γ = 0,04 2 π . π = 0,02

Passo 3

Acabamos de descobrir o valor de γ , mas precisamos descobrir o valor do coeficiente de atrito, e para isso temos que lembrar que na equação do MHA, γ é o que acompanha x ˙ :

x ¨ + γ x ˙ + w 0 2 x = 0

Se voltarmos um pouco antes dessa equação vemos que

x ¨ + c m x ˙ + k m x = 0

Assim, temos que

γ = c m

Onde c é o coeficiente de atrito, então ficou fácil né?!

c = γ . m

Já sabemos que a massa é M é o valor de γ é 0,02

Assim, a constante de atrito é

c = 0,02 M

Resposta

c = 0,02 M

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