Um corpo é pendurado de uma mola, colocado em vibração vertical e imerso em um béquer com óleo. Suponha que o corpo tenha massa m = 375 g , que a mola tenha constante de força k = 100 N / m e b = 0,100 N . s / m .

  1. Quanto tempo leva pra amplitude cair pra metade de seu valor inicial?
  2. Quanto tempo leva pra energia mecânica cair pra metade de seu valor inicial?
  3. Demonstre que, de maneira geral, a taxa à qual a amplitude diminui em um oscilador harmônico amortecido é metade da taxa à qual a energia mecânica diminui.

Passo 1

a):

Bom galera, essa questão trata de um MHA. Como sabemos a expressão pra oscilação de um MHA é:

x t = A e - γ 2 t cos ⁡ ω t + φ

Onde γ = b m

Beleza, mas nesse primeiro item, a gente só quer saber qual o tempo que é preciso pra que a amplitude caia à metade de seu valor inicial. Então vamos esquecer a parte do cosseno e escrever:

A e - γ 2 t = A 2

e - γ 2 t = 1 2

- γ 2 t = ln ⁡ 1 2

γ 2 t = ln ⁡ 2

Usando γ = b m :

t = 2 m b ln ⁡ 2

Passo 2

b):

Sendo a energia mecânica dada por:

E M = k A 2 2

A sua metade vale:

E M ' = k A 2 4 = k A 2 2 . 1 2

Mas a gente pode escrever esse nova energia mecânica em função de uma nova amplitude A ' :

E M ' = k A ' 2 2 = k A 2 4   → A ' 2 = A 2 2   → A ' = A 2

Logo, fazendo parecido com o item anterior:

A e - γ 2 t = A 2

e - γ 2 t = 1 2

- γ 2 t = ln ⁡ 1 2

γ t 2 = ln ⁡ 2 1 2

γ t 2 = 1 2 . ln ⁡ 2

γ t = ln ⁡ 2   → t = m l n 2 b

Passo 3

c):

Vamos calcular a derivada de energia mecânica dividida pela energia mecânica:

d E d t E = 1 2 k A 2 ' k A 2 2 = 1 2 . k 2 A . d A d t k A 2 2

d E d t E = 2 . d A d t A

Ou seja, como o lado direito possui a derivada da amplitude em relação, a gente conseguiu provar o que era preciso.

Resposta

a):

t = 2 m b ln ⁡ 2

b):

t = m l n 2 b

c):

Demonstração

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