Uma mola de massa desprezível, comprimento L 0 e constante k = 1,125 ⋅ 10 4   N / m se encontra presa ao teto. Na sua extremidade livre é pendurado um bloco de massa m = 50   k g . O sistema é abandonada em um meio viscoso cujo coeficiente de atrito viscoso é ρ = 100   N s / m , sob a ação da força peso ( F → P = + m g   j → ), da força da mola F → m = - k y   j → e da força viscosa ( F → v = - ρ d y d t   j → ). A função que descreve a posição do bloco no tempo, y t , deste distema será escrita como:

y t = y p t + y h t

onde y p t é a solução particular (ou estacionária) da equação não-homogênea e y h t é a solução da equação diferencial homogênea. Adotando o eixo y como está indicado na figura, resolva as questões Q5, Q6, Q7 e Q8.

Q8) Uma vez que no instante t = 0 a posição do bloco é y t = 0 = 0 e a sua velocidade v t = 0 = 0 , determine a solução geral y t . Resolva de forma literal, sem fazer substituições numéricas.

Passo 1

Antes de qualquer coisa, é importante saber que essa questão é continuação das questões 5, 6 e 7 da P2 de 2019! Na questão 5, obtivemos que a equação diferencial do problema é

d 2 y d t 2 + γ d y d t + ω 0 2   y = g

Já na questão 6, achamos que a solução particular da equação não-homogênea é

y p t = m g k

Por fim, na questão 7 identificamos que o regime de oscilação é subcrítico, de modo que a solução geral da equação homogênea é

y h t = A e - γ 2   t cos ⁡ ω t + ϕ ,

onde

ω = ω 0 2 - γ 2 4

Passo 2

Desta forma, basta somar y p com y h para acharmos a solução geral do problema:

y t = y p t + y h t

Assim,

y t = m g k + A e - γ 2   t cos ⁡ ω t + ϕ

Temos que determinar as constante A e ϕ com as condições iniciais!

Sabemos que para t = 0 , y = 0 :

0 = m g k + A e 0 cos ⁡ ϕ ⇒ A cos ⁡ ϕ = - m g k

Vamos guardar essa equação.

Passo 3

Derivando a posição com relação ao tempo encontramos a velocidade:

v t = d y d t

Assim, aplicando a regra do produto:

v t = 0 - γ 2 A e - γ 2   t cos ⁡ ω t + ϕ - ω   A e - γ 2   t s e n   ω t + ϕ

Ou ainda,

v t = - A e - γ 2 t γ 2 cos ⁡ ω t + ϕ + ω   s e n   ω t + ϕ

Mas como em t = 0 também temos v = 0 , segue que

0 = - A e 0   γ 2 cos ⁡ ϕ + ω   s e n   ϕ = 0 ⇒ γ cos ⁡ ϕ + 2 ω   s e n   ϕ = 0

Com isso, temos duas equações:

A cos ⁡ ϕ = - m g k γ cos ⁡ ϕ + 2 ω   s e n   ϕ = 0

Passo 4

Da primeira equação, tiramos

cos ⁡ ϕ = - m g A k

Substituindo na segunda:

- γ m g A k + 2 ω   s e n   ϕ = 0 ⇒ s e n   ϕ = m g γ 2 A k ω

Da relação fundamental trigonométrica:

cos 2 ⁡ ϕ + s e n 2 ϕ = 1

Tiramos:

- m g A k 2 + m g γ 2 A k ω 2 = 1

Assim,

m 2 g 2 A 2 k 2 + m 2 g 2 γ 2 4 A 2 k 2 ω 2 = 1

Logo,

A 2 = m 2 g 2 k 2 1 + γ 2 4 ω 2

Portanto,

A = m g k 1 + γ 2 ω 2

Substituindo A de volta na equação do cosseno:

cos ⁡ ϕ = - m g A k

Obtemos

cos ⁡ ϕ = - 1 1 + γ 2 ω 2

Assim, a solução geral do problema é

y t = m g k + A e - γ 2   t cos ⁡ ω t + ϕ

com

A = m g k 1 + γ 2 ω 2                 e             cos ⁡ ϕ = - 1 1 + γ 2 ω 2

E assim terminamos o problema 😊

Resposta

y t = m g k + A e - γ 2   t cos ⁡ ω t + ϕ

A = m g k 1 + γ 2 ω 2                 e             cos ⁡ ϕ = - 1 1 + γ 2 ω 2

Exercícios de Livros Relacionados

137. Uma máquina de 200k g se apoia sobre quatro suportes no chão, cada um dos quais possui uma constante de mola efetiva k = 250k N / m e um coeficiente de amortecimento viscoso efetivo c = 1000 N ⋅
138. Represente graficamente a resposta x do corpo de 20k g ao longo do intervalo de tempo 0 ≤ t ≤ 1 segundo. Determine os valores máximo e mínimo de x e seus respectivos instantes de tempo. As condiç
Para uma criança em um balanço, a amplitude cai em um fator de 1 e em cerca de oito períodos, se nenhuma energia mecânica adicional for fornecida ao sistema. Estime o fator Q para este sistema.
Para o cilindro do Prob. 8/8, determine o deslocamento vertical x, medido para baixo no sentido positivo em milímetros, a partir da posição de equilibro, em termos do tempo t, em segundos, medido a pa
Em um oscilador amortecido com m = 250 g , k = 85 N / m e b = 70 g / s , qual é a razão entre a amplitude das oscilações amortecidas e a amplitude inicial após 20 ciclos?