5 . Uma partícula de massa m = 0,5   k g , presa a uma mola de constante elástica k = 50,5   N / m , inicialmente em repouso na condição de equilíbrio em x = 0 , recebe um impulso que lhe confere uma velocidade de v → = 4 i ^   m / s , entrando em oscilação. Se a partícula movimenta-se sobre uma mesa lisa, mas está sujeita a uma força amortecedora do tipo F → d = - ρ d x d t i ^ com ρ = 1   k g / s , a função que descreve o deslocamento x ( t ) da partícula em função do tempo t , no sistema S I , em relação à origem é:

a   x t = 0,4 e - t cos ⁡ 10 t - π 2

b   x t = 0,8 e - t cos ⁡ 101 t + π 2

c   x t = 0 , 2 e - t / 2 cos ⁡ 5 π t + 3 π 2

d   x t = 0 , 1 e - 2 t cos ⁡ 10 t - π 2

e   x t = 0 , 1 e - 2 t cos ⁡ 10 π t + π 2

Passo 1

Vem comigo que a gente resolve esse problema!

Como enunciado diz temos um oscilador harmônico amortecido, a para esse movimento a função de deslocamento mais geral é dada por:

x t = A e - γ 2 t cos ⁡ ω t + ϕ

Então temos que descobrir os parâmetros A ,   γ ,   ω e ϕ para o nosso caso.

Para esse tipo de movimento temos que ω é dado por:

ω = ω 0 2 - γ 2 4

Onde ω 0 é frequência natural do movimento, dada por:

ω 0 = k m

E γ é o parâmetro de amortecimento que queremos encontrar também, ele é dado por:

γ = ρ m

Para achar ϕ vamos usar as condições iniciais do problema.

x 0 = 0

v 0 = 4   m / s

Lembrando que v t = d x d t .

Agora mãos à obra!

Passo 2

Vamos primeiro encontrar γ e ω 0 , já que precisamos deles para achar ω .

Temos que:

γ = ρ m

⇒ γ = 1 0,5

⇒ γ = 2   s - 1

Agora temos que ω 0 é:

ω 0 = k m

⇒ ω 0 = 50,5 0,5

⇒ ω 0 = 101   r a d / s

Passo 3

Agora podemos encontrar ω , temos:

ω = ω 0 2 - γ 2 4

⇒ ω = 101 - ( 2 ) 2 4

= 101 - 1

Logo temos que:

ω = 10   r a d / s

Passo 4

Agora vamos encontrar ϕ . Usando a primeira condição inicial temos:

x 0 = A cos ⁡ ϕ = 0

⇒ cos ⁡ ( ϕ ) = 0

Então temos que ϕ = ± π 2 , mas qual é o valor correto? Para isso vamos usar a outra condição inicial, primeiro, temos:

v t = d x d t = - γ 2 A e - γ 2 t cos ⁡ ω t + ϕ - ω A e - γ 2 t sen ⁡ ( ω t + ϕ )

Então como ϕ é igual a π 2 ou - π 2 o termo do cosseno some, assim:

v 0 = - ω A sen ⁡ ϕ = 4

Como a velocidade inicial é positiva, então sen ⁡ ( ϕ ) tem que ser negativo, logo:

ϕ = - π 2

Passo 5

Agora só falta encontrarmos A , usando a mesma condição inicial do passo anterior, temos:

- ω A sen ⁡ ϕ = 4

Mas agora sabemos o valor de ϕ , então:

ω A = 4

⇒ A = 4 ω

Usando o valor que temos para ω , temos:

A = 0,4   m

Juntando tudo o que encontramos a nossa função para posição fica da seguinte forma:

x t = 0,4 e - t cos ⁡ 10 t - π 2

Logo a alternativa correta é a ( a ) .

Resposta

a   x t = 0,4 e - t cos ⁡ 10 t - π 2

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