Dada uma massa m apoiada sobre um pistão pneumático com um amortecimento r, queremos ajustar a constante de mola k atuando sobre o sistema de forma que, diante de uma perturbação externa, ele tenha um retorno no menor tempo possível.

A equação de movimento do corpo na ausência de forças externas é dada por:

m d 2 y d t 2 = - ρ d y d t - k y

a) Qual o valor de k que faz o sistema voltar ao equillíbrio no menor tempo possível? Neste caso, qual a forma geral da solução da equação diferencial acima? Justifique sua resposta.

b) Se em t = 0 o corpo, inicialmente em equilíbrio, recebe uma pancada, transferindo um impulso vertical p, qual a função y(t) que representa a evolução da posição do corpo?

c) Se uma vibração externa é aplicada com frequência Ω, e uma força F 0 , qual a expressão da amplitude de oscilação A(Ω)? Para que valor de Ω a amplitude de oscilação é máxima?

Passo 1

a) Para o sistema voltar ao equilíbrio o mais rápido possível, devemos ter regime de amortecimento crítico. Nesse regime:

∆ = γ 2 - 4 ω 0 2 = 0

Então:

ω 0 2 = γ 2 4

ω 0 = γ 2

Mas:

ω 0 = k m

γ = ρ m

Então:

k m = ρ 2 m

k = ρ 2 4 m

Passo 2

b) No regime crítico, a solução é do tipo:

y t = e - γ t 2 ( a + b t )

Temos duas condições iniciais aí.

A primeira, é que y 0 = 0 . Então:

y 0 = a = 0

A segunda é sobre o impulso. O impulso que esse cara recebe é todo transformado em quantidade de movimento. Então podemos dizer:

p = m v 0

v 0 = p / m

Então:

y ˙ 0 = v 0 = p / m

E y ˙ t vai ser:

y ˙ t = - γ 2 e - γ t 2 a + b t + b e - γ t 2

y ˙ 0 = b = p / m

b = p / m

Então y ( t ) vai ser:

y t = p t m e - γ t 2

Passo 3

c) A amplitude de oscilação é:

A Ω = F 0 m ( ω 0 2 - Ω 2 ) 2 + ( γ Ω ) 2

E como sabemos que γ = 2 ω 0 , podemos trocar!

A Ω = F 0 m ( ω 0 2 - Ω 2 ) 2 + ( 2 ω 0 Ω ) 2

A Ω = F 0 m ω 0 4 - 2 ω 0 Ω + Ω 4 + 4 ω 0 2 Ω 2

A Ω = F 0 m ω 0 4 + 2 ω 0 2 Ω 2 + Ω 4

A Ω = F 0 m ( ω 0 2 + Ω 2 ) 2

A Ω = F 0 m ω 0 2 + Ω 2

Beleza! Olhando pra essa fórmula aí o que a gente consegue enxergar?

A gente consegue enxergar que pra amplitude ser máxima, o denominador deve ser mínimo!

Como o denominador é ω 0 2 + Ω 2 , pra esse cara ser mínimo devemos ter:

Ω = 0

Resposta

a) k = ρ 2 4 m

b) y t = p t m e - γ t 2

c) A Ω = F 0 m ω 0 2 + Ω 2 , Ω = 0

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